Здравствуйте. Подскажите, в какой книге найти формулировку и доказательство следующей леммы: Лемма о числе решений уравнения x^(k)=1 в циклической группе. Главное, чтобы было доказательство.

задан 24 Май '17 13:25

изменен 24 Май '17 16:12

Обычно этот материал входит в тему циклических групп и подгрупп. В виде отдельной леммы он может и не формулироваться. Иногда это свойство может даваться как упражнение. Важно понимать, из каких базовых свойств оно выводится. "Корни" здесь в элементарной теории чисел (свойства делимости, взаимная простота, и т.п.).

(24 Май '17 18:50) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Для случая бесконечной циклической группы ответ очевиден (хотя надо уметь его сформулировать). Пусть циклическая группа $%G$% конечна, и имеет порядок $%n$%. Обозначим через $%g$% её образующий. Тогда $%G=\{1,g,g^2,...,g^{n-1}\}$%, где $%g^n=1$%.

Ответим сначала на такой простой вопрос: в каких степенях элемент $%g$% равен единице? Из определения порядка элемента легко вывести ответ: в степенях, кратных $%n$% (и только).

Теперь решаем уравнение $%x^k=1$%. Случай $%k=0$% тривиален, и далее можно $%k$% считать натуральным числом. Элемент $%x$% имеет вид $%g^m$%, где $%0\le m < n$%. Подставляя $%x=g^m$% в уравнение, имеем $%(g^m)^k=g^{mk}=1$%, откуда $%mk$% делится на $%n$%.

Положим $%d=НОД(k,n)$%, и запишем $%k=dk_1$%, $%n=dn_1$%, где числа $%k_1$% и $%n_1$% взаимно просты. Условие делимости $%dmk_1$% на $%dn_1$% после сокращения на $%d$% равносильно условию делимости $%mk_1$% на $%n_1$%. А оно означает, что $%m$% делится на $%n_1$%, ввиду отмеченного выше условия взаимной простоты.

Таким образом, $%m$% может принимать следующие значения: $%m=0,n_1,2n_1,...,(d-1)n_1$%. Следующее значение $%dn_1=n$% уже не войдёт, так как $%m < n$%. Итого имеем в списке $%d$% чисел. Значит, число решений уравнения равно $%НОД(k,n)$%.

Можно заметить, что все эти решения образуют циклическую подгруппу с образующим $%g^{n_1}$% порядка $%d$%.

ссылка

отвечен 24 Май '17 18:48

@falcao: все по полочкам и понятно. Спасибо!

(24 Май '17 21:51) SergeY
10|600 символов нужно символов осталось
0

Богопольский Введение в теорию групп, стр.11, упражнение 1.8.

ссылка

отвечен 24 Май '17 14:31

@Амфибрахий: можно с доказательством?

(24 Май '17 14:35) SergeY
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,725

задан
24 Май '17 13:25

показан
652 раза

обновлен
24 Май '17 21:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru