Найти координату z центра тяжести для части поверхности x^2-y^2-z^2=1, такой, что x+z<=2, x>=0, y>=0, z>=0.

Прошу подправить, если что не так и помочь разобраться в этой задаче.

Мои рассуждения, в задаче необходимым условием является использование поверхностного интеграла. Объемная плотность равна 1, а значит масса будет равна площади, которая вычисляется через поверхностный интеграл. Статический момент, также находим решая поверхностный интеграл. Выразив функцию z=sqrt(x^2-y^2-1), я нашел частную производную по х и по y и подставил в вирыжение для поверхностного интеграла первого рода, в итоге получил ds=sqrt((2x^2-1)/(x^2-y^2-1))dxdy. Интеграл от ds и будет объемом. А какие пределы интегрирования использовать? Тут нужно переходить к полярным координатам.

задан 24 Май '17 22:31

10|600 символов нужно символов осталось
1

Вы интегрируете по области, которую надо изобразить. На плоскости Oxy она ограничена прямыми x=0, y=0. Рисуем первый квадрант. Далее, в пересечении поверхности с плоскостью, то есть при z=0, получается x^2-y^2=1. Это часть гиперболы. На нашей области выполняется неравенство x^2-y^2=1+z^2>=1, так как точки поверхности проектируются на плоскость. Поскольку 0<=z<=2-x, возникает ограничение x<=2. Наконец, надо совместить условия z^2=x^2-y^2-1 и z^2<=(2-x)^2. Из них получается неравенство x<=(y^2+5)/4 в результате упрощений. Тогда надо нарисовать ещё параболу, и взять точки правее неё.

В результате фигура будет ограничена тремя линиями. Точка пересечения параболы и гиперболы имеет координаты (2;sqrt(3)). Параметризовать фигуру в декартовых координатах можно как 0<y=sqrt(3); sqrt(y^2+1)<=x<=(y^2+5)/4. После этого можно вычислять интегралы. Полярные координаты здесь, по всей видимости, только затруднят дело.

ссылка

отвечен 24 Май '17 23:32

Кстати, использование полярных координат возможно, но тогда проектировать надо на плоскость Oyz, выражая x, чтобы возникала сумма квадратов.

(24 Май '17 23:35) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,618

задан
24 Май '17 22:31

показан
553 раза

обновлен
24 Май '17 23:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru