|
В прямоугольном треугольнике АВС с вершины прямого угла С проведена высота CD. Радиус окружности, вписанной в треугольник АВС равен 1, а периметр треугольника ACD равен 7,2. задан 20 Янв '13 20:49 
Данил0608 |
|
Радиус окружности, вписанной в треугольник с катетами $%a, b$% и гипотенузой $%c$% находится по формуле $$r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{a+a\cdot tg\alpha-\frac{a}{cos\alpha}}{2}=\frac{a(cos\alpha+sin\alpha-1)}{2cos\alpha}.$$ Периметр треугольника, указанного в задаче, $%p=a+a\cdot sin\alpha+a\cdot cos\alpha=a(1+sin\alpha+cos).$% Поделив второе уравнение на первое, получите тригонометрическое уравнение, которое нужно решить. отвечен 21 Янв '13 22:03 
Anatoliy |
|
Подсказки. Треугольник $%ACD$% подобен треугольнику $%ABC$%. Радиус описанной окружности связан с периметром через формулу площади. отвечен 20 Янв '13 21:56 
DocentI Что-то у меня не получилось решить эту задачу "с налета". Если решать алгебраически, получается уравнение 4 степени...
(21 Янв '13 7:50)
DocentI
|
|
Из формулы $%S=pr$% получаем $%ab=a+b+c$% с учётом $%r=1$%. Возводя в квадрат равенство $%c=ab-a-b$% и применяя теорему Пифагора, после упрощений имеем $%ab-2a-2b+2=0$%. Далее, периметр треугольника $%ACD$% с гипотенузой $%b$%, с учётом подобия прямоугольных треугольников, равен $%(a+b+c)b/c$%, то есть $%ab^2/c$%. Приходим к уравнению $%ab^2=kc$%, где $%k=7,2$%. Это значит, что $%ab^2=k(ab-a-b)$%, и $%a$% выражается через $%b$% по формуле $% a=\frac{kb}{kb-b^2-k}. $% С другой стороны, из условия $%ab-2a-2b+2=0$% получается, что $% a=\frac{2(b-1)}{b-2}. $% Приравнивая друг другу найденные выражения, после упрощений получаем кубическое уравнение $%2b^3-(k+2)b^2+2kb-2k=0$%, что после подстановки значения $%k=7,2$% и упрощений даёт $%5b^3-23b^2+36b-36$%. Далее корень $%b=3$% находится подбором, а других корней нет, так как после разложения на множители получаем $%(b-3)(5b^2-8b+12)=0$%, где дискриминант квадратного трёхчлена отрицателен. Значит, $%b=3$%, и потому $%a=4$%. Таким образом, наименьшая сторона треугольника $%ABC$% равна $%3$% (а сам он имеет стороны $%3$%, $%4$%, $%5$%). отвечен 22 Янв '13 16:40 
falcao До кубического уравнения я тоже дошла, после чего потеряла интерес к задаче. Может, у нее все-таки есть изящное решение?
(22 Янв '13 17:51)
DocentI
Если иметь в виду решение для любых значения параметров, то альтернатива вряд ли существует, потому что искомое значение $%b$% всё равно будет корнем кубического уравнения, но числа можно так подобрать, что рациональных корней не будет. С другой стороны, в конкретной задаче сам треугольник легко угадывается, и тогда более короткое решение может быть связано с доказательством того факта, что никаких других решений нет. Последнее равносильно тому, что кубическое уравнение не будет иметь других положительных корней. Это вроде бы верно, то проверка связана с достаточно сложными вычислениями.
(22 Янв '13 18:42)
falcao
Там уравнение так устроено, что производная кубического трёхчлена, вообще говоря, может иметь корни, то есть монотонной зависимости не наблюдается. Поэтому соображения монотонности (типа того, что если $%b$% больше $%3$%, то и периметр станет больше или меньше $%7,2$%) вряд ли удастся применить напрямую.
(22 Янв '13 18:44)
falcao
Ну ладно. Оставим это на совести организаторов олимпиады.
(22 Янв '13 19:10)
DocentI
|
А что за олимпиада? Почему мы должны ее решать?
Региональная, задание которое не смог выполнить.
Не Онлайн олимпиада?
Это не онлайн олимпиада, спасибо за подсказку.