Длина каждой из сторон выпуклого четырехугольника - целое число, являющееся делителем периметра этого четырехугольника. Докажите, что по крайней мере две стороны равны.

Мне непонятно, для чего в условии слово "выпуклый". Что изменится, если сделать его впуклым? В любом случае, если длины всех четырёх сторон были бы попарно различны и длина наибольшей стороны была бы не больше трети периметра, то сумма длин всех четырёх сторон не дотянула бы до периметра, а именно: $$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}<1$$ Половине же периметра длина наибольшей стороны равняться не может, в противном случае четырёхугольник выродился бы в отрезок. И уж подавно длина наибольшей стороны не может быть равна периметру.

Так какая же тогда разница, выпуклый или нет?

Или я чего-то не понимаю?

задан 25 Май '17 1:34

10|600 символов нужно символов осталось
2

Задача, по сути, чисто арифметическая. Думаю, что составители просто не хотели обременять учащихся рассмотрением лишних случаев, и уводить в сторону от сути. Здесь можно было бы с равным успехом говорить о ломаной, которая ничего не ограничивает. Формулировка в терминах геометрии выглядит несколько более "элегантно", хотя понятно, что тут просто даны 4 натуральных числа, и максимальное из них меньше суммы трёх остальных. Это всё, что здесь извлекается из геометрии (а "знатоки" понимают, что такое условие необходимо и достаточно для составления 4-угольника, в том числе выпуклого).

Теперь можно рассуждать от противного, беря числа $%a > b > c > d$%, где $%a < b+c+d$%, то есть $%2a < P$%, где $%P$% -- периметр. Делим периметр на длины, получая неравенства $%3\le\frac{P}a < \frac{P}b < \frac{P}c < \frac{P}d$% с натуральными числами, а дальше всё как у Вас.

ссылка

отвечен 25 Май '17 3:14

@falcao, большое спасибо!

(26 Май '17 1:42) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,167
×1,087
×338
×209
×46

задан
25 Май '17 1:34

показан
324 раза

обновлен
26 Май '17 1:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru