$%(x-1)^4+ (x-3)^4=16$%

помогите пожалуйста разобраться как решать такие уравнения

задан 25 Май '17 12:36

10|600 символов нужно символов осталось
0

Если раскрыть все скобки, то получится уравнения 4-й степени. В общем случае можно применить метод Феррари (буквально вчера вечером было одно такое уравнение на форуме). А если уравнение имеет рациональный корень a, то многочлен делится на x-a по теореме Безу. Для нахождения рациональных корней есть специальная процедура.

Но здесь всё проще, потому что сразу ясно, что x=1 и x=3 будут корнями. Это значит, что многочлен 4-й степени после раскрытия скобок будет делиться на x-1 и x-3. Если всё это проделать (при помощи схемы Горнера или деления "столбиком"), то уравнение примет вид (x-1)(x-3)(x^2-4x+11)=0. Квадратный трёхчлен в скобках не имеет действительных корней. Значит, мы всё нашли.

Но тут сразу видна симметрия, и можно применить другой способ. После замены y=x-2 мы имеем (y+1)^4+(y-1)^4=16. Раскрытие скобок и деление на 2 даёт y^4+6y^2-7=0. Это биквадратное уравнение, и оно решается обычным школьным способом. Разложение на множители имеет вид (y^2-1)(y^2+7)=0, откуда y=1 или y=-1, то есть x=3 или x=1.

ссылка

отвечен 25 Май '17 12:54

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×74

задан
25 Май '17 12:36

показан
323 раза

обновлен
25 Май '17 12:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru