(5x + a)^2 - (|x| + sqrt(6|x| - x^2) - 6)(5x + a) + (|x| - 6)*sqrt(6|x| - x^2) = 0

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет отличное от нуля четное число различных корней. Разложить на множители я смог, а правильно решить геометрически не смог.

задан 25 Май '17 15:39

Геометрически? - Не вижу тут геометрии.

(25 Май '17 16:10) Williams Wol...

@Williams Wol... задача находилась в главе "геометрические решения параметров"

(26 Май '17 4:55) ACDC
10|600 символов нужно символов осталось
0

Тут уже много всего писали, поэтому попробую кратко изложить общую схему.

Рисуем на плоскости $%Oxa$% две линии: $%a=|x|-5x-6$% и $%a=\sqrt{6|x|-x^2}-5x$%. Область определения обеих функций $%x\in[-6;6]$%. С первой линией всё ясно -- это ломаная из двух звеньев. Всё определяется поведением второй кривой -- характером её возрастания и убывания. Если делать рисунок, то лучше при этом не соблюдать масштаб, чтобы были видны маленькие "горбики" графика второй функции.

На отрезке $%x\in[-6;0]$% имеем $%a=\sqrt{-6x-x^2}-5x$%, откуда $%a'(x)=-\frac{3+x}{\sqrt{-6x-x^2}}-5$%. Критическая точка здесь одна, и она находится из уравнения $%(x+3)^2+25(x^2+6x)=0$%, то есть $%26x^2+156x+9=0$%, из которого нам подходит только корень с условием $%x\le-3$%, то есть $%x_1=-3-\frac{15}{\sqrt{26}}$%. Функция возрастает на промежутке $%x\in[-6;x_1]$% (его длина составляет сотые доли), изменяясь от $%30$% до $%3\sqrt{26}+15$%. Далее она убывает, уменьшаясь до нуля.

На отрезке $%x\in[0;6]$% имеем $%a=\sqrt{6x-x^2}-5x$%, и здесь $%a'(x)=\frac{3-x}{\sqrt{6x-x^2}}-5$%. Критическая точка здесь также одна, и она находится из уравнения $%(x-3)^2+25(x^2-6x)=0$%, то есть $%26x^2-156x+9=0$%, где нам подходит корень с условием $%x\le3$%, то есть $%x_2=3-\frac{15}{\sqrt{26}}$%. Функция возрастает на промежутке $%x\in[0;x_2]$% (он также короткий), изменяясь от $%0$% до $%3\sqrt{26}-15$%. Далее она убывает, уменьшаясь до $%-30$%.

Теперь, если нарисовать график с "горбиками", становится ясно, сколько решений будет иметь система при каждом $%a$%. Для нас представляют интерес случаи, когда решений либо два, либо четыре, и это даёт ответ $%a\in(-30;0)\cup(0;3\sqrt{26}-15)\cup(3\sqrt{26}-15;3\sqrt{26}+15)$%.

ссылка

отвечен 27 Май '17 11:05

10|600 символов нужно символов осталось
0

$% (5x + a)^2 - (|x| + \sqrt{6|x| - x^2} - 6)(5x + a) + (|x| - 6) \cdot \sqrt{6|x| - x^2} = 0 $%
$% (5x+a) = t; \sqrt{6|x|-x^2} = z; |x|-6 = a \\ $%

$% t^2-(z+a)t+az=0 \to
t_1+t_2 = z+a; t_1 \cdot t_2 = az; $%

$%t_1 = a; t_2 = z \\$%
$% 5x+a = |x|-6; 5x+a = \sqrt{6|x|-x^2} $%
$% D(f) \in [-6;6] $%
$% x \geq 0; 5x+a = x-6 ; 4x = -(a+6); x = -(a+6)/4; \text{Корень при} \quad a \in (-\infty; -6] $%
$% x < 0; 5x+a = -x-6; 6x = -(a+6); x = -(a+6)/6; \text{Корень при} \quad a \in [-6; - \infty) $%
Получаем, что тут всегда один корень.
$% 5x+a = \sqrt{6|x|-x^2}; x > -\frac{a}{5}; (5x+a)^2 = 6|x|-x^2; $%
Да, действительно тут геометрия, рисуем дальше: $%\sqrt{6|x|-x^2}$% и прямую $%5x+a$% и рассматриваем где сколько решений, получаем ответ. (Там нужно будет рассмотреть два касания с полуокружностями)
Ответ: $% a \in (-30; 0) \cup (3(\sqrt{26}-5); 30) \cup \{3(\sqrt{26}+5) \} $%

ссылка

отвечен 25 Май '17 16:33

изменен 25 Май '17 17:58

Соврал, сейчас перепишу.

(25 Май '17 16:35) Williams Wol...

@Williams Wol...: а почему в ответе указаны значения x?

При a=-30 разве будут ещё решения кроме x=-6?

(25 Май '17 17:26) falcao

Случайно, ответ в $%a$%

(25 Май '17 17:57) Williams Wol...

А в целом с ответом все в порядке?

(25 Май '17 17:58) Williams Wol...

@Williams Wol...: по-моему, нет -- там между 30 и крайним значением всё должно входить.

(25 Май '17 19:08) falcao

@Williams Wol... а как нарисовать график с корнем? Он преобразуется в окружность, но радиус зависит от x.

(26 Май '17 4:57) ACDC

Это полуокружность, раскрывается модуль в двух случаях и получается две полуокружности (x(+/-)3)^2+y^2 = 9

(26 Май '17 5:33) Williams Wol...
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,704

задан
25 Май '17 15:39

показан
646 раз

обновлен
27 Май '17 11:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru