Доказать ограниченность функции на множестве M, найти точные верхнюю и нижнюю грани, выяснить достижимость этих граней. $$f(x,y) = \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} $$ $$M = {(x,y) \in R^2 , x^2 + y^2 \neq 0} $$ 1) Как доказать ограниченность функции? Я предположил, что стоит рассмотреть двойной предел в точке 0, а также посмотреть пределы функции на всех прямых y = kx при x -> inf, верен ли ход мыслей?

2) Для того, чтобы найти Sup и Inf нужно найти экстремумы функции?

3) Если рассмотреть предел в точке ноль, перейдя к полярной системе координат, то его не существует, но функция получится cos2a, то есть ограниченная функция и функция в окрестности нуля не превосходит 1 и не меньше -1?

задан 25 Май '17 20:14

изменен 25 Май '17 21:40

Переход к полярным координатам здесь возможен, и он тоже даёт ответы. Это всё будет не в окрестности, а на всей плоскости с выколотым нулём.

(25 Май '17 21:48) falcao

Хм, действительно, я что-то не подумал, что перейдя к полярным координатам мы получим значение на всей плоскости и это будет доказательством ограниченности. Спасибо большое

(25 Май '17 21:50) WhiplHann
10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Здесь модуль числителя не больше (модуля) знаменателя. Поэтому значения функции по модулю ограничены единицей.

Из рассмотрения пределов в общем случае ничего не следует.

2) Здесь достаточно проверить, что значения 1 и -1 достигаются. А это очевидно: берём точки (x,y)=(1,0) и (x,y)=(0,1).

ссылка

отвечен 25 Май '17 21:47

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×26

задан
25 Май '17 20:14

показан
493 раза

обновлен
25 Май '17 21:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru