Существует ли конечное множество $%M$% функций вида $%f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$%, такое, что любой многочлен $%P\in\mathbb{Z}[x]$% может быть представлен как композиция функций из $%M$%?

задан 25 Май '17 20:55

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%\alpha_0\colon\mathbb{R}\to(0,1)\subset\mathbb{R}$% --- биекция; положим $%\alpha_k = (x+1)^{\circ k}\circ \alpha_0.$%

Занумеруем многочлены $%\mathbb{Z}[x]$% натуральным индексом $%k$%: $%\mathbb{Z}[x]=\{P_k\ |\ k\in\mathbb{N}_0\}$%. Пусть функция $%f$% такова, что ее сужение на интервал $%(k,k+1),k\in\mathbb{N}_0$% равно $%P_k(\alpha_k^{-1}(x))$%, а в остальных точках $%f$% определим произвольным образом.

Осталось отметить, что $%P_k = f\circ(x+1)^{\circ k}\circ \alpha_0.$%

ссылка

отвечен 26 Май '17 17:01

изменен 27 Май '17 0:59

Я еще что-то слышала про теорему Колмогорова, согласно которой хватит двух функций, чтобы это всё выразить. Где-то в Олмстеде и Гелбауме она фигурировала. Если я ошибаюсь, поправьте.

(27 Май '17 1:11) stander

@stander: в теореме Колмогорова, если я не ошибаюсь, речь идёт о представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде композиции непрерывных функций одной переменной, и чего-то типа x+y. Это несколько другая проблематика, хотя внешнее сходство есть.

(27 Май '17 1:20) falcao

@falcao Любопытно, что если конечное множество $%M$% состоит из функций вида $%f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$%, то ответ отрицательный (композиция не многочленов не может дать многочлен, а одними многочленами тут явно не обойтись).

(27 Май '17 1:28) Sunbro

@Sunbro: при каких ограничениях верно то, что композиция не многочленов не даёт многочлен?

(27 Май '17 2:23) falcao

@falcao Функции из $%M$% должны быть голоморфными.

(27 Май '17 12:01) Sunbro
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619
×415
×17

задан
25 Май '17 20:55

показан
672 раза

обновлен
27 Май '17 12:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru