Доказать равномерную непрерывность функции двух переменных по определению. (d = d(E)) $$f(x,y) = x^2+y^2 $$ на множестве $$x^2+y^2 < 4$$ То есть нужно найти такое d, что для любых x1, x2, таких, что P(x,y) < d, $$|f(x1)-f(x2)| < E$$ Я расписал по определению $$|x1^2 + y1^2 - x2^2 - y2^2| = |(x1^2-x2^2) + (y1^2 - y2^2)| $$ Но, так как $$ |x1-x2| < P(x,y) < d$$ то получается $$|(x1^2-x2^2) + (y1^2 - y2^2)| < |d(x1+x2+y1+y2)|$$ Как можно выразить x1+x2+y1+y2, через d?

задан 26 Май '17 19:58

изменен 26 Май '17 23:24

@WhiplHann: я думаю, что если в условии на самом деле надо было доказать равномерную непрерывность, то функция должна была иметь вид $%\sqrt{x^2+y^2}$%. Тогда это расстояние до начала координат. Нужное свойство следует из неравенства треугольника: если расстояние между точками меньше d, то их расстояния до начала координат отличаются меньше, чем на d. Для квадрата расстояния, конечно, никакой равномерной непрерывности нет. Кстати, сейчас я нашёл по ссылкам Ваш же вопрос про функцию с корнем.

(26 Май '17 21:41) falcao

Блин, я что-то совсем рассеянный. Жутко извиняюсь, я забыл написать самое главное - это функция задана на компакте и x^2+y^2 < 4. По теореме Кантора она равномерно непрерывна, но необходимо именно выразить d через E

(26 Май '17 23:18) WhiplHann

@WhiplHann: а где тут компакт, если неравенство строгое? Конечно, открытый круг содержится в замкнутом, и в конечном счёте всё верно, но желательно задавать вопросы точнее.

Насчёт связи между delta и epsilon надо будет ответить отдельно, хотя сам этот вопрос нужно сначала правильно поставить. Я так понимаю, требуется вычислить модуль непрерывности функции.

(26 Май '17 23:40) falcao

Хм, я ранее не сталкивался с понятием модуля непрерывности, но немного изучив кажется понял, что это некоторая функция, зависящая от дельта. В моем примере нужно выразить дельта через эпсилон, таким образом доказав, что для любого эпсилона найдется дельта, что выполняется условие равномерной непрерывности

(27 Май '17 17:04) WhiplHann
10|600 символов нужно символов осталось
2

По поводу модуля непрерывности: рассмотрим точку $%(x,y)$% с условием $%x^2+y^2 < 4$%. Предположим, что мы перемещаем её на какое-то расстояние $%< \delta$% в пределах области определения. Спрашивается, на сколько может при этом измениться значение функции (квадрат расстояния до начала координат).

Понятно, что значение "выгоднее" всего менять вдоль радиуса -- здесь изменение будет набольшим. Тогда задача ничем не отличается от случая функции одной переменной $%g(r)=r^2$%. Можно рассматривать увеличение и уменьшение функции ровно на $%\delta$%. Легко видеть, что разница значений функции будет максимальной для случая увеличения, и она составит $%2r\delta+\delta^2$%. В пределах рассматриваемого множества, она не больше $%8\delta+\delta^2$%. Для "малых" значений $%\varepsilon > 0$% можно рассмотреть квадратное уравнение $%\delta^2+8\delta=\varepsilon$%, из которого ясно, что подходят значения $%\delta < \sqrt{16+\varepsilon}-4$%.

Эта оценка является как бы "точной", и она чуть меньше $%\varepsilon/8$%. Можно слегка "огрубить" оценку, придав ей более простой вид. Скажем, можно считать, что $%\delta < 1$%, и тогда $%8\delta+\delta^2 < 9\delta$%, что позволяет взять значение $%\delta=\varepsilon/9$%.

ссылка

отвечен 27 Май '17 19:08

10|600 символов нужно символов осталось
2

Рассмотрим приращение функции: $% |(x+a)^2+(y+b)^2-x^2-y^2|\leq|2ax|+|2by|+a^2+b^2\leq 4|a|+4|b|+a^2+b^2<9\sqrt{a^2+b^2},$% если $%a^2+b^2<1.$%

ссылка

отвечен 26 Май '17 20:30

изменен 26 Май '17 23:43

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×126

задан
26 Май '17 19:58

показан
1094 раза

обновлен
27 Май '17 19:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru