Уже который день решаю и все не могу прийти к ответу, может кто подскажет ход решения?

$${1 \over [x]} + {1 \over [2x]} = \{x\} + {1\over3}$$

  • $%[x]$% - целая часть числа
  • $%\{x\}$% - дробная

$$[\sqrt{2}] = 1, [-1/2] = -1, {\sqrt{10}} = \sqrt{10} - [\sqrt{10}]$$

задан 21 Янв '13 9:08

изменен 21 Янв '13 15:46

DocentI's gravatar image


9.8k1040

После правки ХэшКода пропали фигуры скобки. Я восстановила.

(21 Янв '13 15:47) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
2

Рассмотрите два случая.
1. $%k \le x < k +1/2$%
2. $%k +1/2\le x < k + 1$%

В каждом случае выразите дробную часть и наложите на нее соответствующие ограничения.

ссылка

отвечен 21 Янв '13 10:10

изменен 21 Янв '13 10:16

подскажите пожалуйста,а почему именно такие промежутки?интуиция?)

(21 Янв '13 19:02) sanek640

да мне тоже интересно, откуда вы взяли эти промежутки? можно по подробнее

(21 Янв '13 19:08) Евгений536

да и как мне подбирать k?

(21 Янв '13 19:21) Евгений536

В первом промежутке $%[2x]= 2k$%, а во втором - $%[2x] = 2k +1$%. Целая часть $%x$% в обоих случаях равна k. Ну, а дробнаz часть не зависит от $%k$%. В первом случае она от 0 до 1/2, во втором - от 1/2 до 1.

(21 Янв '13 19:23) DocentI

Ооого! круть! спасибо.... ни за чтоб наверное не догадлся..

(21 Янв '13 19:35) Евгений536

Да нет, здравый смысл.

(21 Янв '13 20:53) DocentI
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
2

Представим $%x$% в виде суммы целой и дробной части: $%x=k+\alpha$%. Тогда $%2x=2k+2\alpha$%, и тогда $%[2x]=2k+[2\alpha]$%. Поскольку $%\alpha\in[0,1)$%, имеем $%0\le2\alpha<2$%, откуда $%[2\alpha]$% равно 0 или 1. Первый случай возникает, если $%\alpha\in[0,1/2)$%, а второй --- при $%\alpha\in[1/2,1)$%. Эти два случая и рассмотрим.

В первом из них получается

$% \frac{1}{k}+\frac{1}{2k}=\alpha+\frac{1}{3}, $%

откуда с учётом неравенства $%0\le\alpha<1/2$% имеем $%1/3\le3/2k<1/2+1/3=5/6$%, то есть $%9/5 < k\le9/2$%. Понятно тогда, что подходят значения $%k=2,3,4$%. Для них находим, соответственно: $%\alpha=5/12,1/6,1/24$%, что дает три решения: $%x=29/12$%, $%x=19/6$%, $%x=97/24$%.

Теперь рассмотрим второй случай, то есть $%[2x]=2k+1$% при $%1/2<=\alpha<1$%. Здесь

$% \frac{1}{k}+\frac{1}{2k+1}=\alpha+\frac{1}{3}. $%

Легко видеть, что подходят только положительные значения $%k$%, но $%k=1$% даёт слишком много (это $%4/3$%), а $%k=2$% --- уже слишком мало, а именно $%7/10$%, что меньше $%5/6$%. С увеличением $%k$% значения станут ещё меньше, и ни одно из них не подойдёт.

Таким образом, во втором случае решений мы не получим, то есть их всего будет три:

$%x\in\{29/12,19/6,97/24\}$%.

ссылка

отвечен 22 Янв '13 14:33

Не стоит давать полное решение, тем более, олимпиадной задачи. Достаточно подсказки: пусть сами решают.

(22 Янв '13 17:48) DocentI

По идее, Вы правы, но я сам люблю писать в таком стиле. Это отнимает какое-то время, но когда оно есть в запасе, то приятнее видеть перед собой некое "законченное" изделие.

Если по каким-то причинам это не подходит Сообществу, то я, конечно, могу перейти и на стиль кратких указаний.

(22 Янв '13 17:52) falcao

У нас недавно была история: вбросили задачи онлайн-олимпиады. Пока мы догадались, для нескольких задач опубликовали решения. Кроме того, есть правила по поводу учебных заданий.

(22 Янв '13 18:08) DocentI

Эта задача мне показалась скорее "олимпиадной", нежели чисто учебной. Если спрашивают что-то насчёт "построить уравнение плоскости", то на такие вопросы отвечать не очень интересно. Это явно попытка переложить труд на чьи-то другие плечи.

А когда речь идёт о мало-мальски "нестандартных" задачах, где человек сам пытается решать, но встречает препятствие, то имеет смысл что-то подсказать. Конечно, после совета рассмотреть два случая, задача делается вполне "рутинной", но мне было самому интересно проследить, какие там получаются корни. Ну, а если я их вычислил, то и поместил заодно.

(22 Янв '13 18:56) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

$$ [2x]=2k+[2\alpha] $$ - разве так можно?? у нас по условию k=[x], значит $$ 2k=[2x]-[2\alpha] $$ !!!

ссылка

отвечен 23 Янв '13 15:28

изменен 23 Янв '13 15:36

А чем отличается одно от другого?

У меня написано равенство вида $%u=v+w$%. У Вас оно же записано в виде $%v=u-w$%.

(23 Янв '13 16:31) falcao

Извините, сглупил)

(23 Янв '13 16:57) JIogin

нет стойте, я имел в виду почему под знаком дроби стоит уравнение вида: $$ 2k+1 $$ - то есть вы приравняли $$2x$$ к $$[2x]$$

(23 Янв '13 17:10) JIogin

Во втором случае целая часть $%2x$% равна $%2k+1$%. Именно она и находится в знаменателе --- см. условие задачи.

(24 Янв '13 14:43) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×120

задан
21 Янв '13 9:08

показан
2691 раз

обновлен
24 Янв '13 14:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru