|
Уже который день решаю и все не могу прийти к ответу, может кто подскажет ход решения? $${1 \over [x]} + {1 \over [2x]} = \{x\} + {1\over3}$$
$$[\sqrt{2}] = 1, [-1/2] = -1, {\sqrt{10}} = \sqrt{10} - [\sqrt{10}]$$ задан 21 Янв '13 9:08 
Евгений536 |
|
Рассмотрите два случая. В каждом случае выразите дробную часть и наложите на нее соответствующие ограничения. отвечен 21 Янв '13 10:10 
DocentI подскажите пожалуйста,а почему именно такие промежутки?интуиция?)
(21 Янв '13 19:02)
sanek640
да мне тоже интересно, откуда вы взяли эти промежутки? можно по подробнее
(21 Янв '13 19:08)
Евгений536
да и как мне подбирать k?
(21 Янв '13 19:21)
Евгений536
В первом промежутке $%[2x]= 2k$%, а во втором - $%[2x] = 2k +1$%. Целая часть $%x$% в обоих случаях равна k. Ну, а дробнаz часть не зависит от $%k$%. В первом случае она от 0 до 1/2, во втором - от 1/2 до 1.
(21 Янв '13 19:23)
DocentI
Ооого! круть! спасибо.... ни за чтоб наверное не догадлся..
(21 Янв '13 19:35)
Евгений536
Да нет, здравый смысл.
(21 Янв '13 20:53)
DocentI
показано 5 из 6
показать еще 1
|
|
Представим $%x$% в виде суммы целой и дробной части: $%x=k+\alpha$%. Тогда $%2x=2k+2\alpha$%, и тогда $%[2x]=2k+[2\alpha]$%. Поскольку $%\alpha\in[0,1)$%, имеем $%0\le2\alpha<2$%, откуда $%[2\alpha]$% равно 0 или 1. Первый случай возникает, если $%\alpha\in[0,1/2)$%, а второй --- при $%\alpha\in[1/2,1)$%. Эти два случая и рассмотрим. В первом из них получается $% \frac{1}{k}+\frac{1}{2k}=\alpha+\frac{1}{3}, $% откуда с учётом неравенства $%0\le\alpha<1/2$% имеем $%1/3\le3/2k<1/2+1/3=5/6$%, то есть $%9/5 < k\le9/2$%. Понятно тогда, что подходят значения $%k=2,3,4$%. Для них находим, соответственно: $%\alpha=5/12,1/6,1/24$%, что дает три решения: $%x=29/12$%, $%x=19/6$%, $%x=97/24$%. Теперь рассмотрим второй случай, то есть $%[2x]=2k+1$% при $%1/2<=\alpha<1$%. Здесь $% \frac{1}{k}+\frac{1}{2k+1}=\alpha+\frac{1}{3}. $% Легко видеть, что подходят только положительные значения $%k$%, но $%k=1$% даёт слишком много (это $%4/3$%), а $%k=2$% --- уже слишком мало, а именно $%7/10$%, что меньше $%5/6$%. С увеличением $%k$% значения станут ещё меньше, и ни одно из них не подойдёт. Таким образом, во втором случае решений мы не получим, то есть их всего будет три: $%x\in\{29/12,19/6,97/24\}$%. отвечен 22 Янв '13 14:33 
falcao Не стоит давать полное решение, тем более, олимпиадной задачи. Достаточно подсказки: пусть сами решают.
(22 Янв '13 17:48)
DocentI
По идее, Вы правы, но я сам люблю писать в таком стиле. Это отнимает какое-то время, но когда оно есть в запасе, то приятнее видеть перед собой некое "законченное" изделие. Если по каким-то причинам это не подходит Сообществу, то я, конечно, могу перейти и на стиль кратких указаний.
(22 Янв '13 17:52)
falcao
У нас недавно была история: вбросили задачи онлайн-олимпиады. Пока мы догадались, для нескольких задач опубликовали решения. Кроме того, есть правила по поводу учебных заданий.
(22 Янв '13 18:08)
DocentI
Эта задача мне показалась скорее "олимпиадной", нежели чисто учебной. Если спрашивают что-то насчёт "построить уравнение плоскости", то на такие вопросы отвечать не очень интересно. Это явно попытка переложить труд на чьи-то другие плечи. А когда речь идёт о мало-мальски "нестандартных" задачах, где человек сам пытается решать, но встречает препятствие, то имеет смысл что-то подсказать. Конечно, после совета рассмотреть два случая, задача делается вполне "рутинной", но мне было самому интересно проследить, какие там получаются корни. Ну, а если я их вычислил, то и поместил заодно.
(22 Янв '13 18:56)
falcao
|
|
$$ [2x]=2k+[2\alpha] $$ - разве так можно?? у нас по условию k=[x], значит $$ 2k=[2x]-[2\alpha] $$ !!! отвечен 23 Янв '13 15:28 
JIogin А чем отличается одно от другого? У меня написано равенство вида $%u=v+w$%. У Вас оно же записано в виде $%v=u-w$%.
(23 Янв '13 16:31)
falcao
Извините, сглупил)
(23 Янв '13 16:57)
JIogin
нет стойте, я имел в виду почему под знаком дроби стоит уравнение вида: $$ 2k+1 $$ - то есть вы приравняли $$2x$$ к $$[2x]$$
(23 Янв '13 17:10)
JIogin
Во втором случае целая часть $%2x$% равна $%2k+1$%. Именно она и находится в знаменателе --- см. условие задачи.
(24 Янв '13 14:43)
falcao
|
После правки ХэшКода пропали фигуры скобки. Я восстановила.