Найти все значения а, при каждом из которых множество значений функции $$y= \frac{ \sqrt {a+1} - 2cos3x+1}{sin^23x + a + 2 \sqrt{a+1} +2} $$ содержит отрезок [2;3]

Понимаю, что функция непрерывна и должны существовать значения функции 2 и 3, но или я в арифметике ошибаюсь,или принципиально что-то не так делаю, с ответом не сходится.

задан 27 Май '17 11:14

изменен 27 Май '17 11:37

Здесь удобное сделать кое-какие замены, после чего всё технически упростится, и меньше будет вероятность ошибиться при вычислениях.

Общий принцип решения можно посмотреть здесь.

Может быть, имеет смысл предъявить Ваш ход решения, чтобы обсудить.

(27 Май '17 11:58) falcao

Можно при помощи производной найти наибольшее и наименьшее значения... и посмотреть когда данный отрезок лежит между найденными значениями...

(27 Май '17 12:16) all_exist

@all_exist: там проще рассмотреть два квадратных уравнения -- для значений 2 и 3. Это не должно быть сложно. Если находить критические точки, то всё равно придётся сравнивать значения с 2 и 3, и это будет, скорее всего, труднее.

(27 Май '17 12:24) falcao

А нельзя просто дробь приравнять к двум значениям? По непрерывности она будет принимать все что между ними(если это учесть) - это по идее и будет ответом.

(27 Май '17 12:28) Williams Wol...

@falcao, я видел эту задачу - она из пособия подготовки к ЕГЭ-2017... там вроде всё прилично получается... и уравнения простые... решение пол странички заняло...

Кстати, про замену косинуса я вообще не подумал... (((

(27 Май '17 12:33) all_exist

@all_exist: да, варианты этой задачи на форуме рассматривались уже не раз. Решение там несложное.

@Williams Wol...: да, всё так и есть.

(27 Май '17 12:35) falcao

@falcao в обоих случаях получается положительный дискриминант вне зависимости от а, нужно проверять, чтобы хотя бы одно решение попало в промежуток [-1;1]? Как-то некрасиво и долго

(27 Май '17 12:37) user0304

всё, дошло, благодарю

(27 Май '17 13:05) user0304
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
1

Обозначим $%b=\sqrt{a+1}+1$%... Функция имеет вид $$ f(x) = \frac{b-2\cos 3x}{b^2+\sin^2 3x} $$ Она всюду определена и непрерывна... следовательно, принимает все значения от наименьшего до наибольшего... можно ещё сказать про периодичность и выделить отрезок равный длине периода...

Находим производную $$ f'(x) = \frac{6\sin 3x (b^2+\sin^2 3x)-(b -2\cos 3x)6\sin 3x\cos 3x}{(b^2+\sin^2 3x)^2} $$ Ищем критические точки $$ 6\sin 3x \Big(b^2+\sin^2 3x-(b -2\cos 3x)\cos 3x\Big)=0 $$ $$ 6\sin 3x = 0\quad\text{или}\quad (b^2+1)-b\cos 3x +\cos^2 3x=0 $$ Второе уравнение не имеет корней... то есть наименьшее и наибольшее значения определяются первым уравнением... откуда $$ f_{\min}=\frac{b-2}{b^2},\quad f_{\max}=\frac{b+2}{b^2} $$

Итого получили два неравенства $$ \frac{b-2}{b^2}\le 2,\quad \frac{b+2}{b^2}\ge 3 $$ Поскольку $%b \ge 1$%, то оба неравенства можно просто умножить на $%b^2$%... $$ 2b^2 -b+2 \ge 0,\quad 3b^2 -b-2 \le 0 $$ Первое неравенство верно при любом $%b$%, а второе при $%-\frac{2}{3} \le b \le 1$%...

Итого, единственное значение параметра $%b=1$%, откуда $%a=-1$%...

ссылка

отвечен 27 Май '17 13:10

изменен 27 Май '17 13:16

@all_exist: у меня тоже получалось единственное значение, но решал я очень бегло, поэтому не был уверен. Я просто брал уравнения f(x)=2, f(x)=3 и анализировал.

(27 Май '17 18:22) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

На всякий случай, пусть будет ещё один способ решения -- для разнообразия.

Делаем замену $%t=\cos3x$%, и $%b=\sqrt{a+1}+1$%. Рассматриваем функцию $%f(t)=\frac{b-2t}{b^2+1-t^2}$% на отрезке $%t\in[-1;1]$%. Она на нём всюду определена, так как знаменатель нигде не обращается в ноль ввиду $%b > 0$%. Из соображений непрерывности необходимо и достаточно, чтобы функция принимала оба значения 2 и 3.

Начнём со второго случая. Получается уравнение $%b-2t=3b^2+3-3t^2$%, которое после выделения полного квадрата приобретает вид $%(t-\frac13)^2=b^2-\frac13b+\frac{10}9$%. Левая часть на отрезке принимает все значения от 0 до $%(\frac43)^2$%, откуда $%b^2-\frac13b\le\frac23$%, что равносильно $%(b-\frac16)^2\le\frac{25}{36}$%, то есть $%|b-\frac16|\le\frac56$%. В частности $%b\le1$%, но у нас по условию $%b\ge1$%. Значит, остаётся проверить только один случай. Можно заметить, что $%f(-1)=3$% при таком значении.

Теперь решаем уравнение $%f(t)=2$% при $%b=1$%. Имеем $%1-2t=4-2t^2$%, и здесь подходит значение $%t=\frac{1-\sqrt7}2$% из отрезка.

Итого $%b=1$%, то есть $%a=-1$%.

ссылка

отвечен 27 Май '17 18:38

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×651
×516

задан
27 Май '17 11:14

показан
1398 раз

обновлен
27 Май '17 18:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru