$%\;\;\;\;$%Здравствуйте! Скажите, пожалуйста, где ошибка, ведь точки $%A_1$%, $%A_2$%, $%B$%, $%C$% и $%O$% в одной плоскости явно не лежат.


$%\;\;\;\;$%Два равных конуса расположены так, что осью каждого из них является образующая другого. Углы при вершинах в осевых сечениях этих конусов равны по $%60°$%. Найдите угол между двумя образующими, по которым пересекаются эти конусы. $$\textrm{Решение.}$$ alt text $%\;\;\;\;$% Пусть $%S$% - общая вершина рассматриваемых конусов, $%SA_1$% и $%SA_2$% - их оси. Обозначим через $%SB$% и $%SC$% их общие образующие и через $%\alpha$% искомый угол $%BSC$%.

$%\;\;\;\;$%Описанная в задаче конфигурация имеет две плоскости симметрии: одна - $%SA_1A_2$% - содержит оси конусов, другая - $%SBC$% - содержит их общие образующие. Тогда эти плоскости перпендикулярны, пусть $%SO$% - прямая их пересечения.

$%\;\;\;\;$% Обозначим через $%\phi$% угол в осевом сечении каждого из конусов. Так как $%SA_2$% является образующей конуса с осью $%SA_1$% и наоборот, то $%\angle A_2SO=\angle OSA_1=\phi /4$%. Кроме того, $%\angle A_2SB=\angle A_2SC=\angle A_1SB=\angle A_1SC=\phi /2$%, $%\angle OSB=\angle OSC=\alpha /2$%.

$%\;\;\;\;$% Будем считать, что точки $%A_1$%, $%A_2$%, $%B$%, $%C$%, $%O$% лежат в некоторой плоскости, перпендикулярной прямой $%SO$% и расположенной на расстоянии $%h$% от вершины $%S$%. Тогда из пирамиды $%SOA_1C$%, в которой все плоские углы при вершине $%O$% прямые, имеем $$SA_1=\frac{h}{\cos \left(\phi /4 \right)},\;\;\;\;OA_1=h\textrm{tg}\left(\phi /4\right),$$ $$SC=\frac{h}{\cos \left(\alpha /2 \right)},\;\;\;\;OC=h\textrm{tg}\left(\alpha /2\right);$$ $$\Delta OA_1C:\;\;\;\;A_1C^2=h^2\textrm{tg}^2\left(\phi /4\right)+h^2\textrm{tg}^2\left(\alpha /2\right);$$ $$\Delta SA_1C:\;\;\;\;A_1C^2=\frac{h^2}{\textrm{cos}^2\left(\phi /4\right)}+\frac{h^2}{\textrm{cos}^2\left(\alpha /2\right)}-2\frac{h^2}{\cos \left(\phi /4\right)\cos \left(\alpha /2\right)}\cos \left(\phi /2\right)$$ $$\Longrightarrow \cos \left(\phi /2\right)=\cos \left(\phi /4\right)\cos \left(\alpha /2\right).$$

$%\;\;\;\;$% Так как $%\phi =60°$%, то $%\cos \left(\alpha /2\right)=\sqrt{\displaystyle\frac{3}{2+\sqrt{3}}}$%.

Ответ: $%2\arccos\sqrt{\displaystyle\frac{3}{2+\sqrt{3}}} $%. alt text

задан 27 Май '17 13:54

изменен 27 Май '17 20:44

Может как-то доказать, что $%BC$% находится на расстоянии $%R/2$% от центров оснований конусов и, по свойству отрезков хорд, просто найти $%BC$%, а искомый угол найти по теореме косинусов?

(27 Май '17 14:14) Don_Eduardo

@Don_Eduardo, в одной плоскости явно не лежат. - я так понимаю, что это основной вопрос... а решение не Ваше...

Тут высота конуса не зафиксирована... точки $%A_1,\;A_2,\; B,\;C$% - это какие-то точки на прямых... понятно, что если Вы проведёте плоскость, перпендикулярную $%SO$%, то найдёте такие точки, лежащие в одной плоскости...

(27 Май '17 14:16) all_exist

@all_exist, решение действительно не моё. То есть Вы хотите сказать, что точки $%A_1$% и $%A_2$% не обязательно являются центрами оснований конусов?

(27 Май '17 14:21) Don_Eduardo

@Don_Eduardo, ну, про основания тут вообще речи нет... так же как и не сказано, что $%B,\;C$% - точки основания...

Везде говорится про точки прямых...

(27 Май '17 14:24) all_exist

По-моему, тут рисунок несколько искажает суть дела. Точка A2 расположена чуть выше, чем надо. Если она лежит на окружности, то там середина двух отрезков будет общей чисто из соображений симметрии.

(27 Май '17 19:30) falcao
1

@falcao, если рассматривать конусы одинаковой высоты, то $%BC$% - это линия пересечения плоскостей оснований... центры оснований - это точки плоскостей, которые не лежат на линии пересечения... То есть в таком случае эти точки не будут в одной плоскости и рисунок правильный...

Это становится очевидным, если посмотреть на общее осевое сечение...

(27 Май '17 20:05) all_exist

@all_exist: видимо, я понял, в чём дело -- тут подбираются положения точек A1, A2, чтобы общая плоскость появилась.

(27 Май '17 20:34) falcao

Может быть здесь точки $%A_1$% и $%A_2$% принадлежат осям конусов, но не являются центрами их оснований. Эти точки были получены следующим образом. Биссектриса угла $%BSC$% пересекла $%BC$% в точке $%O$%. В точку $%O$% к плоскости $%BSC$% был проведен перпендикуляр, который пересек оси конусов в точках $%A_1$% и $%A_2$%, поэтому они и лежат в некоторой плоскости, перпендикулярной $%SO$%.

(27 Май '17 20:41) Don_Eduardo

@Don_Eduardo: да, по построению оно так и должно быть, если я правильно понял.

(27 Май '17 20:55) falcao
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,114
×508

задан
27 Май '17 13:54

показан
492 раза

обновлен
27 Май '17 20:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru