а) В семье трое детей, их возрасты - три последовательных простых числа (день рождения у всех троих в один и тот же день). Через какое наименьшее целое положительное число лет данная ситуация может возникнуть снова?

б) А если детей четверо?

в) А если ещё больше?

задан 28 Май '17 2:02

10|600 символов нужно символов осталось
3

а) 5, 7, 11 и 11, 13, 17 дают пример повторения через 6 лет. Меньшим это число быть не может. Действительно, тройки 2, 3, 5 и 3, 5, 7 являются "уникальными", то есть других таких промежутков между последовательными простыми числами не бывает. Значит, разность между третьим и первым числом тройки не меньше 6. Если бы нашлась тройка последовательных простых $%p < q < r$%, которая переходит в тройку простых со сдвигом менее чем на 6, то $%p$% перешло бы в $%q$%, а $%q$% в $%r$%. Но так быть не может, поскольку соседние промежутки между простыми длиной 2 или 4 не могут идти подряд из соображений делимости на 3.

б) Здесь пример почти такой такой: 5, 7, 11, 13, и 11, 13, 17, 19. Минимальность значения 6 сразу следует из сказанного выше.

в) Для пяти простых чисел подряд годится "расширение" предыдущего примера: 5, 7, 11, 13, 17 и 11, 13, 17, 19, 23. Если чисел шесть, то первое повторение "рисунка" промежутков происходит для чисел 23, 29, 31, 37, 41, 43 и 53, 59, 61, 67, 71, 73 (по числу лет пример пока не выходит за пределы чего-то реального). Если взять последнюю из пятёрок и добавить одно число слева, то получится 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, и при сдвиге на 210 получается набор 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283. Но так долго люди уже не живут :)

Для общего случая довольно трудно сказать, всегда ли найдутся сколь угодно длинные повторяющиеся промежутки между последовательными простыми. С одной стороны, мы даже про число 2 не знаем, встречается ли оно в качестве промежутка бесконечно часто. С другой стороны, есть сильные результаты типа того, что существуют сколь угодно длинные арифметические прогрессии из простых чисел (уже не последовательных, но всё же).

Для приведённых выше примеров можно попытаться доказать минимальность длины, или поискать другие примеры -- когда повторение в ряду чисел происходит позже, но через меньшее число шагов.

ссылка

отвечен 28 Май '17 7:14

2

@falcao, как следует из результатов Yitang Zhang (см.здесь), среди первых 70 млн. чисел найдется число, которое в множестве разностей пар простых чисел будет встречаться бесконечное количество раз.

(28 Май '17 14:50) Urt
1

@Urt: я не знал об этом результате. Он как раз более чем в тему, и звучит весьма впечатляюще.

(28 Май '17 14:55) falcao

@falcao, большое спасвибо! @Urt, и Вам тоже!

(29 Май '17 0:00) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,190
×1,091
×338
×209
×110

задан
28 Май '17 2:02

показан
402 раза

обновлен
29 Май '17 0:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru