Доказать без выбора базиса, что \begin{equation} U_1 + U_2 \cong \left( U_1 \oplus U_2 \right)/ \left( U_1 \cap U_2 \right) \end{equation} это изоморфизм, где U1 и U2 - некоторые подпространства векторного пространства V.

задан 28 Май '17 6:31

изменен 28 Май '17 6:31

10|600 символов нужно символов осталось
0

Рассмотрим отображение из $%U_1\oplus U_2$% в подпространство $%U_1+U_2$%, заданное по правилу $%(u_1,u_2)\to u_1+u_2$%. Очевидно, что оно линейно и сюръективно. Ядру будут принадлежать в точности те пары, для которых $%u_1=-u_2$%, то есть пары вида $%(u,-u)$%, где $%u\in U_1\cap U_2$%. Подпространство таких пар в прямой сумме изоморфно $%U_1\cap U_2$%. Далее применяем теорему о гомоморфизмах.

Строго говоря, здесь факторпространство рассматривается не по самому пересечению (которое как множество не содержится в прямой сумме), но по подпространству, ему изоморфному.

ссылка

отвечен 28 Май '17 6:41

Спасибо большое! Никак не мог понять, что же всё-таки означает здесь фактор по данному пересечению.

(28 Май '17 7:09) Cristy

@Cristy: да, это "шероховатость" формулировки. Я не сразу на неё обратил внимание. Было ясно, что всё должно делаться через теорему о гомоморфизмах, а тогда вид ядра всё сказал сам за себя.

(28 Май '17 7:16) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520
×1,330

задан
28 Май '17 6:31

показан
370 раз

обновлен
28 Май '17 7:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru