Найдите многочлен 4-й степени, корнями которого являются число 1 и кубы всех комплексных корней многочлена $$x^3+x-1$$

задан 28 Май '17 12:26

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%x_i$% ($%i=1,2,3$%) -- корни данного многочлена. Для каждого из них имеем $%x_i^3=-x_i+1$%, поэтому сумма кубов корней равна $%x_1^3+x_2^3+x_3^3=-(x_1+x_2+x_3)+3=3$% с учётом теоремы Виета. По той же теореме, $%x_1x_2x_3=-(-1)=1$%, поэтому $%x_1^3x_2^3x_3^3=1$%. Тем самым, мы знаем два коэффициентам многочлена, корнями которого являются числа вида $%x_i^3$%.

Теперь надо найти ещё один коэффициент. Рассмотрим выражение $%x_1^3x_2^3+x_1^3x_3^3+x_2^3x_3^3=(1-x_1)(1-x_2)+(1-x_1)(1-x_3)+(1-x_2)(1-x_3)$%. Оно равно $%3-2(x_1+x_2+x_3)+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=4$%, так как сумма попарных произведений корней равна $%1$% по теореме Виета. Таким образом, у многочлена $%x^3-3x^2+4x-1$% корнями будут кубы чисел вида $%x_i$%. Осталось домножить его на $%x-1$%, и получится многочлен 4-й степени, который требовалось найти. Это $%x^4-4x^3+7x^2-5x+1$%.

ссылка

отвечен 28 Май '17 14:32

@falcao, замечательно! В условии слово "комплексных", пожалуй, лишнее. Можно подумать, что предлагается задача, предполагающая кропотливые вычисления с использованием формулы Тартальи.

(28 Май '17 14:45) Urt

@Urt: нет, оно как раз не лишнее, потому что в задачах школьного типа все числа по умолчанию считаются действительными. А у этого уравнения один вещественный корень и два мнимых.

(28 Май '17 14:53) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

$$ (z-1)(z-x_1^3)(z-x_2^3)(z-x_3^3)=0 $$ $$ (z-1)(z-1+x_1)(z-1+x_2)(z-1+x_3)=0 $$ Обозначим $%w=1-z$%, тогда $$ -w(-w+x_1)(-w+x_2)(-w+x_3)=0 $$ $$ w(w-x_1)(w-x_2)(w-x_3)=0 $$ произведение последних скобок есть исходный многочлен $$ w(w^3+w-1)=0 $$ осталось вернуться к $%z$%... $$ (1-z)((1-z)^3+(1-z)-1)=0 $$ $$ (z-1)(z^3-3z^2+4z-1)=z^4-4z^3+7z^2-5z+1=0 $$

ссылка

отвечен 28 Май '17 14:57

10|600 символов нужно символов осталось
0

Есть еще такая красивая идея, придуманная falcao уже в комментариях после решения. Нам достаточно найти кубический многочлен $%g_3(x)$% корнями которого будут кубы корней уравнения $%x^3+x-1$%. То есть:

$%g_3(x_i^3)=0 (\forall i\in{1,2,3}) \Rightarrow g_3(1-x_i)=0 (\forall i\in{1,2,3}) \Rightarrow \\ g(x)=(x-1+x_1)(x-1+x_2)(x-1+x_3) \Rightarrow \\ g(x+1)=-x^3-x-1 \Rightarrow g(x)=-(x-1)^3-(x-1)-1 $%

ссылка

отвечен 28 Май '17 15:11

изменен 28 Май '17 15:13

Фактически это решение @all_exist только в другой записи. Уж не знаю опирался ли он на прошлогоднее решение @falcao или нет. Ставлю свою шляпу что @leonardeuler учится на матфаке на курс младше чем @lugo.

(28 Май '17 15:33) abc

@abc, задачу про кубы корней я помню и решал я её тогда точно также как и сейчас (просто ссылку лень искать, поэтому написал заново)... решение @falcao я не помню и на него не опирался...

(28 Май '17 16:07) all_exist

@all_exist классное решение, снимаю шляпу

(28 Май '17 16:09) abc

@all_exist: не только Вы не опирались, но даже я сам не опирался на то решение, потому что не помнил ни факта этой задачи, ни способа решения :)

Зато теперь мне стало понятно, зачем было дополнительное условие с корнем, равным 1. Типа "наведения на мысль".

(28 Май '17 17:30) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
28 Май '17 12:26

показан
1093 раза

обновлен
28 Май '17 17:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru