Здравствуйте. Подскажите, как решить задание: Докажите, что кольцо эндоморфизмов аддитивной группы Z или Zn изоморфно кольцу Z или Zn соответственно.

задан 28 Май '17 14:11

10|600 символов нужно символов осталось
0

Каждый эндоморфизм однозначно задаётся образом единицы. Если мы загадаем элемент a кольца Z или Z_n, в который переходит 1, то произвольный элемент x перейдёт в xa. Очевидно, что при этом получится эндоморфизм аддитивной группы. Сумма таких эндоморфизмов, определяемых элементами a и b, переведёт x в xa+xb=x(a+b). Она определяется суммой элементов кольца. При композиции эндоморфизмов x перейдёт в x(ab). То есть композиция определяется произведением элементов кольца. Осталось заметить, что разным элементам кольца соответствуют разные эндоморфизмы (у них образы единицы отличаются). Поэтому мы имеем биекцию исходного кольца на кольцо эндоморфизмов аддитивной группы, а гомоморфность была проверена выше.

Доказательство для случая Z и для случая Z_n проходит одинаково, поэтому мы оба случая рассмотрели вместе.

ссылка

отвечен 28 Май '17 14:40

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520

задан
28 Май '17 14:11

показан
509 раз

обновлен
28 Май '17 14:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru