В группе Sn задана циклическая подгруппа H равенством H=<(1,2,. . .,n-1)>. Найти N(H).

задан 28 Май '17 14:40

10|600 символов нужно символов осталось
0

Докажем, что данная подгруппа совпадает со своим нормализатором при n>=3. Случай n=2 является исключением: подгруппа H там будет единичной, и нормализатор равен S_2.

Известно, что индекс нормализатора (стабилизатора) элемента равен длине орбиты этого элемента при действии группы сопряжениями. Критерий сопряжённости в симметрической группе хорошо известен: элементы должны иметь одинаковое циклическое строение. Поэтому сопряжённых элементов будет столько, сколько циклов длиной n-1, то есть n(n-2)!. Действительно, у нас есть n способов задать элемент, не входящий в цикл, а оставшиеся n-1 элементов можно упорядочить циклически (n-2)! способами.

Таким образом, индекс нормализатора равен n(n-2)!, и тогда его порядок равен n-1, то есть порядку H. Значит, N(H)=H.

Случай n=2 является исключением, потому что при отбрасывании любого из двух символов мы получаем один и тот же цикл длиной 1, то есть тождественную подстановку. При n > 2 такого явления уже нет: цикл без участия одного символа уже не может совпасть с циклом без участия другого.

ссылка

отвечен 28 Май '17 14:51

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,860
×1,019
×433

задан
28 Май '17 14:40

показан
636 раз

обновлен
28 Май '17 14:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru