Найдите следующие степени расширений: [Q(sqrt(2), (3)^(1/3)):Q] и [Q(sqrt(6)):Q(sqrt(2))]. Как решить это задание? И каков общий принцип их решения? Cпасибо.

задан 28 Май '17 15:06

изменен 28 Май '17 19:01

Вроде в алгебре здесь оракулы разбираются...:(

(28 Май '17 22:06) any5957
10|600 символов нужно символов осталось
0

Общий принцип такой: если есть поле, и к нему присоединяем алгебраический элемент, то получается простое алгебраическое расширение, степень которого равна степени элемента, то есть степени его неприводимого многочлена. Например, степень Q(sqrt(2)) над Q равна двум, так как sqrt(2) является алгебраическим элементом степени 2 над Q, что очевидно.

Когда присоединяется два элемента, делим башню полей на "этажи". Известно, что если K > L > M -- конечные расширения полей, то |K:M|=|K:L|*|L:M|. В первом примере надо найти степень расширения K(3^{1/3}) над K, где K=Q(sqrt(2)). Если бы K было равно Q, то сразу ясно, что степень равна трём. Здесь верно то же самое, но это надо обосновать. Многочлен x^3-3 имеет своим корнем число 3^{1/3}. Он неприводим над Q. Надо доказать, что над K он также неприводим. Тогда степень элемента будет равна 3.

Предположим, что x^3-3 приводим над K. Тогда он представляется в виде произведения многочленов меньшей степени над K. Один из этих многочленов имеет степень 1. Это значит, что x^3-3 имеет корень в K. Но K -- подполе R, а вещественный корень у этого многочлена один. Остаётся проверить, что 3^{1/3} не равно a+b sqrt(2), где a,b рациональны.

Возведение в куб даёт 3=(a+b sqrt(2))^3=a^3+3a^2b sqrt(2)+6ab^2+2b^3 sqrt(2). Ввиду иррациональности sqrt(2), коэффициент при нём равен нулю: b(3a^2+2b^2)=0. Отсюда следует, что b=0, но это невозможно, так как 3^{1/3} иррационально, и не равно a.

Итого степень Q(sqrt(2),3^{1/3}) равно произведению степеней расширений, то есть 6.

В тексте второго задания допущена какая-то ошибка: там нет расширения полей, так как Q(sqrt(6)) не содержит Q(sqrt(2)) в качестве подполя.

ссылка

отвечен 28 Май '17 22:26

@falcao: спасибо. Для второго задания действительно нет расширения (такое дано условие). А каково бы было решение для Q[sqrt (6), sqrt(2)] : Q[sqrt(2)]? И Q[sqrt(3), sqrt(5)] : Q?

(5 Июн '17 1:50) any5957

@any5957: в первом случае степень равна 2, так как sqrt(6) является корнем уравнения 2-й степени уже над Q, а сами поля не равны, так как sqrt(6) не равно a+b sqrt(2), где a, b рациональные. Это проверяется через возведение в квадрат.

Во втором случае степень равна 4. Там надо рассмотреть промежуточное поле -- скажем, Q(sqrt(3)). Далее легко проверяется, что оба "этажа" имеют степень 2.

(5 Июн '17 1:54) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×434

задан
28 Май '17 15:06

показан
1000 раз

обновлен
5 Июн '17 1:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru