Задание:

Поверхность задана уравнением в декартовой прямоугольной системе координат (ДПСК). Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности. Найдите каноническую систему координат. Сделайте проверку . Выполните рисунок поверхности в канонической системе координат. Проверьте правильность нахождения канонического уравнения по инвариантам.

$4x^2 + y^2 + 9z^2 + 4xy - 12xz - 6yz + 6x -2y -6z + 11 = 0$

Запишем матрицу квадратичной формы A:

$$ \begin{pmatrix} 4 & 2 & -6 \\ 2 & 1 & -3 \\ -6&-3 & 9 \\ \end{pmatrix} $$

$$ \qquad \begin{vmatrix} 4-\Lambda & 2 & -6 \\ 2 & 1-\Lambda & -3 \\
-6&-3 & 9 - \Lambda \\ \end{vmatrix} = -\Lambda^3 + 14x^2 $$

Очевидно, что $$ \Lambda_1 = 14, \Lambda_2 = 0 $$

Построим матрицу $$(A - \Lambda_1E)$$

$$ \qquad \begin{vmatrix} -10 & 2 & -6 \\ 2 & -13 & -3 \\ -6&-3 & -5 \\ \end{vmatrix} \sim \qquad \begin{vmatrix} 2 & -13 & -3 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{vmatrix} $$

$$e_1 = (-2,-1,3)$$

Теперь построим матрицу $$(A - \Lambda_2E)$$

$$\qquad \begin{vmatrix} 4 & 2 & -6 \\ 2 & 1 & -3 \\ -6&-3 & 9 \\ \end{vmatrix} \sim \qquad \begin{vmatrix} 4 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{vmatrix}$$

$$e_2 = (-1,2,0),e_2 = (3,0,2)$$

Теперь нормируем вектора, получаем

$$e_1 = {1/\sqrt14} (-2,-1,3), e_2 = {1/\sqrt5} (-1,2,0),e_2 = {1/ \sqrt13} (3,0,2)$$

Получим матрицу P $$ 1/\sqrt910 \cdot \qquad \begin{vmatrix} -2 & -1 & 3 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \\ \end{vmatrix} $$

При проверке $$ P^T \cdot A \cdot P $$ не получается диагональной матрицы, все вычисления проверял по 200 раз уже, помогите пожалуйста

После ортогонолизации система $$(e_1, e_2, e_3)$$ выглядит так:

$$ \begin{pmatrix} -2 & -1 & 3 \\ -1 & 2 & 0 \\ 12 & 6 & 10 \\ \end{pmatrix} $$

задан 28 Май '17 17:19

изменен 28 Май '17 19:16

@integrallebega: когда Вы находите собственные векторы для лямбда_2, они у Вас почему-то одинаково обозначены, и первый из них, то есть (-1,1,0), найден неправильно. Он же не удовлетворяет уравнению системы с коэффициентами 2 1 -3. Поэтому и не сходится.

(28 Май '17 17:26) falcao

@falcao Уже заметил эту ошибку. Исправил ещё до вашего ответа (возможно и одновременно). Но при умножении все равно не получается diag.

А нет, получается. Извиняюсь.

Тут вместо корня из 910 должно быть просто 14. Где я ошибся?)

(28 Май '17 17:33) integrallebega

@integrallebega: а тут разве не надо предварительно ортогонализовать систему e1, e2, e3? Вы её нормировали, но векторы в ней не были попарно ортогональны. Видимо, поэтому и не сходится.

(28 Май '17 18:12) falcao

@falcao а разве нужно? Ну вот, я ортогонализировал и добавил в пост. Теперь все векторы в ней попарно ортогональны. А что дальше делать?

(28 Май '17 18:55) integrallebega

@integrallebega: а теперь надо сделать то, что Вы делали раньше, то есть нормировать векторы. Там снова появятся квадратные корни, только теперь они дадут число 14.

И надо исправить обозначение e2 -- оно у Вас дважды означает разные вещи.

(28 Май '17 21:35) falcao

Да, и надо ещё иметь в виду, что Вы записали векторы по строкам, а не по столбцам, и тогда надо рассматривать произведение PAP^T. Оно будет диагонально.

(28 Май '17 21:39) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,701
×1,332
×339
×49
×41

задан
28 Май '17 17:19

показан
504 раза

обновлен
28 Май '17 21:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru