Является ли $%N=(A\in \mathbb {R} ^{n × n}: detA=k ≠0) $% ориентируемым и связным многообразием?

задан 28 Май '17 20:15

изменен 30 Май '17 1:05

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь рассмотрение всех пунктов -- вещь довольно долгая. Уже тот факт, что получается многообразие, требует обоснования. Доказательство связности -- отдельная интересная задача. С неё имеет смысл и начать. Здесь пока не важно, имеем ли мы дело с многообразием. Достаточно проверить, что как топологическое пространство (подпространство в $%\mathbb R^{n^2}$%) оно линейно связно.

Сразу сведём все пункты задачи к случаю $%k=1$%, так как матрицы можно домножить слева на диагональную с элементами $%k^{-1}$%, $%1$%, ... , $%1$%. Это невырожденное линейное преобразование координат, то есть гомеоморфизм, относительно которого все свойства сохраняются. В итоге мы работает с группой матриц $%SL_n(\mathbb R)$%.

Рассмотрим элементарные преобразования матриц "основного" типа, когда к некоторой строке мы прибавляем произведение другой из строк на произвольный коэффициент. То же самое для столбцов. Эти преобразования не меняют определитель. Из стандартных фактов следует, что такими преобразованиями можно привести невырожденную матрицу к диагональному виду. Если мы к строке $%U$% прибавили строку $%V$%, умноженную на $%\lambda$%, то мы можем в пределах $%SL_n(\mathbb R)$% соединить отрезком матрицу до преобразования и матрицу после него, рассматривая параметр $%t\in[0;1]$%. Все "промежуточные" матрицы, когда преобразуемая строка имеет вид $%U+t\lambda V$%, имеют определитель 1 по тому же свойству, и мы имеем непрерывный образ единичного отрезка, соединяющий две матрицы. Для столбцов всё ровно то же самое.

Здесь есть небольшая тонкость, которую сразу желательно оговорить. В процессе применения описанных преобразований, мы всегда можем добиться того, чтобы диагональные элементы матрицы после преобразований были положительны. Покажем это на примере первого шага. Если $%a_{11} > 0$%, то всё в порядке. Если $%a_{11}=0$%, то к первой строке можно прибавить какую-то другую строку с подходящим коэффициентом, где элемент первого столбца ненулевой. Этот же приём работает всегда, когда среди чисел $%a_{21}$%, ... , $%a_{n1}$% есть отличные от нуля. Остаётся последний "плохой" случай, когда $%a_{11} < 0$%, а все остальные элементы первого столбца нулевые. Тогда достаточно ко второй строке прибавить первую, и всё сведётся к уже рассмотренному.

Теперь, когда $%a_{11} > 0$%, мы поступаем стандартно: при помощи преобразований строк обнуляем все остальные числа первого столбца, а при помощи преобразований столбцов делаем равными нулю все числа первой строки кроме $%a_{11}$%. Далее работает индукция.

Теперь мы соединили матрицу ломаной линией с диагональной, у которой элементы на диагонали положительны. Настал черёд превращения этих элементов в единицы. На первом шаге мы умножаем $%a_{11}$% на $%t$%, и $%a_{22}$% делим на $%t$%, где значение параметра непрерывно изменяется от $%1$% до $%a_{11}^{-1}$%, всё время оставаясь ненулевым. Матрица соединяется кривой второго порядка с матрицей того же типа, но в которой стало $%a_{11}=1$%. Далее так же действуем со вторым элементом, и так до предпоследнего. Последний диагональный элемент станет равен 1 автоматически.

Итак, мы соединили в $%SL_n(\mathbb R)$% произвольно взятую матрицу с единичной. Это доказывает, что пространство линейно связно, а также связно.

Теперь рассмотрим доказательство того, что $%SL_n(\mathbb R)$% является $%(n^2-1)$%-мерным многообразием. Обычно это делается при помощи теоремы о неявной функции в какой-то из её формулировок. Но можно предложить более явное рассуждение. Рассмотрим некоторый элемент $%a_{ij}$% в тождестве от $%n^2$% переменных, означающем, что определитель матрицы равен 1. Коэффициент при $%a_{ij}$% равен алгебраическому дополнению $%A_{ij}$%. Если последнее не равно нулю, то элемент $%a_{ij}$% выражается через остальные матричные элементы, которые принимают произвольные значения в некоторых пределах, оставляющими алгебраическое дополнение ненулевым. Это позволяет покрыть точку областью, гомеоморфной открытому диску размерности $%n^2-1$%. У любой невырожденной матрицы всегда есть отличное от нуля алгебраическое дополнение какого-то из элементов в пределах любой из строк ввиду возможности разложить определитель (ненулевой!) по этой строке. Тогда получается, что пространство локально гомеоморфно евклидову, то есть является многообразием.

С доказательством ориентируемости дело обстоит чуть сложнее: для указанного выше атласа надо каким-то образом согласованно выбирать карты, чтобы при переходе координат получались положительные якобианы. Как это сделать в явном виде, я не знаю. Но здесь можно сослаться на более общие факты, которые излагаются в соответствующих книжках. А именно, $%SL_n(\mathbb R)$% является группой Ли, а все такие группы параллелизуемы, что является более сильным свойством, то есть влечёт ориентируемость. Это достаточно общая конструкция, позволяющая использовать групповую структуру для переноса карт и их удачного согласования.

ссылка

отвечен 1 Июн '17 20:25

изменен 1 Июн '17 20:26

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×339

задан
28 Май '17 20:15

показан
647 раз

обновлен
1 Июн '17 20:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru