|
$%A,B \in M_n(k) \ \ \ k - поле ; \ \ $% Доказать, что если $%\ \ \ \ [A, B] = AB - BA = \lambda A; \lambda \neq 0 \Rightarrow A^n = 0 $% $$ $$ задан 28 Май '17 20:28 
Heimdallr |
|
Это следует из результата предыдущего упражнения. Матрица коммутаторного вида всегда имеет нулевой след. Ввиду $%\lambda\ne0$%, след $%A$% нулевой. Теперь по индукции имеем $%A^mB=BA^m+m\lambda A^m$%. Если поле имеет нулевую характеристику (что резонно предположить, если два упражнения связаны), то при всех $%m$% матрица $%A^m$% имеет нулевой след, и тогда $%A^n=0$% по предыдущему. Можно ли это дело усилить, доказав то же самое для полей конечной характеристики, я пока не знаю. отвечен 28 Май '17 23:42 
falcao |