(по мотивам Ленинградской Олимпиады)

Два натуральных числа отличаются на 18. Их произведение на 4 больше числа, десятичная за- пись которого состоит из одних единиц. Найдите эти числа и докажите, что других нет.

задан 29 Май '17 0:05

1

$$n(n+18)=111...115,$$ $$(n+9)^2=111...196,$$ $$\left(\frac{n+9}2\right)^2=277..799\text{, что невозможно по модулю 4 (если единиц перед 96 больше одной)}.$$

(29 Май '17 0:27) EdwardTurJ

@EdwardTurJ, и Вам тоже!

(29 Май '17 0:45) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
3

a(a+18)=1...111+4=1...115

(a+9)^2=1...196

Подходит a=5; покажем, что других решений нет. Допустим, что a > 5.

(a+9)^2-14^2=1...1000

(a-5)(a+23) делится на 8, но не на 16

Оба числа одинаковой чётности. Значит, они чётны. Хотя бы одно делится на 4, так как произведение делится на 8. Но их разность равна 28, поэтому если одно делится на 4, то и другое тоже делится. Но тогда есть делимость на 16 -- противоречие.

ссылка

отвечен 29 Май '17 0:24

@falcao, большое спасибо!

(29 Май '17 0:45) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×1,114
×370
×211
×43

задан
29 Май '17 0:05

показан
449 раз

обновлен
29 Май '17 0:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru