Пусть G-группа, a,b∈G и H1,H2-подгруппы группы G.Доказать,что непустое множество aH1∩bH2 является смежным классом по подгруппе H1∩H2

задан 29 Май '17 12:52

10|600 символов нужно символов осталось
0

Если пересечение $%aH_1\cap bH_2$% непусто, то ему принадлежит какой-то элемент $%c$%. Тогда $%c=ah_1=bh_2$%, где $%h_1\in H_1$%, $%h_2\in H$%.

Рассмотрим левый смежный класс элемента $%c$% по подгруппе $%H=H_1\cap H_2$%, то есть $%cH$%. Докажем, что он равен пересечению двух левых смежных классов. В одну сторону: $%cH=ah_1H\subseteq ah_1H_1=aH_1$%, и аналогично $%cH=bh_2H\subseteq bh_2H_2=bH_2$%, поэтому $%cH\subseteq aH_1\cap bH_2$%.

В обратную сторону: возьмём произвольный элемент $%x\in aH_1\cap bH_2$%, и докажем, что он принадлежит $%cH$%. Достаточно проверить, что $%c^{-1}x\in H$%. Из того, что $%x\in aH_1$%, следует $%a^{-1}x\in H_1$%, поэтому $%c^{-1}x=h_1^{-1}a^{-1}x\in H_1$%. Аналогично, $%b^{-1}x\in H_2$%, и тогда $%c^{-1}x=h_2^{-1}b^{-1}x\in H_2$%. В итоге $%c^{-1}x\in H_1\cap H_2=H$%, что и требовалось.

ссылка

отвечен 29 Май '17 14:53

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,862
×1,019
×433

задан
29 Май '17 12:52

показан
441 раз

обновлен
29 Май '17 14:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru