Объясните, пожалуйста, как строиться по нескольким гомоморфизмам один гомоморфизм?
Лемма.
Пересечение конечного семейства нормальных подгрупп конечного p-индекса некоторой группы G является нормальной подгруппой конечного p-индекса этой группы.
Доказательство. У нас есть нормальные подгруппы N1, ... , Nk конечного p-индекса. Рассмотрим факторгруппы по ним. Это конечные p-группы вида G/Ni. Для каждой из них мы имеем естественный гомоморфизм fi :G→G/Ni. Теперь строим по нескольким гомоморфизмам один гомоморфизм f в прямое произведение факторгрупп, полагая f(g)=(f1(g),...,fk(g)) для любого g из G. Это даёт гомоморфизм f:G→(G/N1)×…×(G/Nk). Сам этот приём всецело напрашивается, и он не требует никаких дополнительных проверок. Выясним, что является ядром для f. Элемент g принадлежит Ker f тогда и только тогда, когда вектор f(g)состоит из единичных элементов. А это равносильно тому, что g принадлежит ядру каждого из fi, то есть Ni. Значит, ядром f будет в точности пересечение N нормальных подгрупп N1, ... , Nk. Осталось применить теорему о гомоморфизмах.

задан 29 Май '17 23:13

А тут сказано, как он строится. Он обозначение через f, и элементу g из G он сопоставляет элемент прямого произведения по формуле f(g)=(f1(g),...,fk(g)). Это совершенно общая, и всецело элементарная конструкция, когда по нескольким гомоморфизмам одной и той же группы в разные группы задаётся один гомоморфизм в их прямое произведение.

Заметьте, что я никакой новой информации не дал, а всего лишь указал, что она содержится в написанном выше тексте.

(29 Май '17 23:43) falcao

То есть, здесь как факт идет? Вот эта общая конструкция не прописывается? Или же она все-таки есть?

(29 Май '17 23:56) vk2017

@vk2017: я произношу фразу "строим гомоморфизм", а затем его явно задаю формулой. Это и есть, по сути, общая конструкция. Конечно, можно сформулировать общие условия, когда такой приём применим. Я кратко описал это дело словами. Дополнительно прописывать здесь ничего не надо, потому что формула для f(g) будет та же. Разве что f_i будет гомоморфизмом в произвольную группу H_i.

(30 Май '17 0:02) falcao

спасибо, поняла

(30 Май '17 0:04) vk2017
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,019

задан
29 Май '17 23:13

показан
250 раз

обновлен
30 Май '17 0:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru