Исследовать на сходимость несобственный кратный интеграл: $%\int_{\mathbb{R}^2/\left \{ (0,0) \right \}}\frac{ln\left ( 1+|x|^p+|y|^p \right )dxdy}{\left (|x|+|y| \right )^q}$%, p>1

задан 30 Май '17 11:07

10|600 символов нужно символов осталось
2

Подынтегральная функция не меняется при отражении переменных относительно координатных осей, поэтому достаточно изучить сходимость в 1-м квадранте. Рассмотрим исчерпания этого квадранта областями $% x>0; y>0 ; t <|x|^p + |y|^p < R, $% и перейдем к переменным $% x=(r\ cos^2\phi)^{1/p}; y=(r\ sin^2\phi)^{1/p}.$% Интеграл по исчерпанию получит вид: $%(2/p^2)\int_0^{\pi/2}\frac{\cos^{(2/p)-1}\phi\sin^{(1/p)-1}\phi}{(\cos^{(2/p)}\phi+\sin^{(2/p)}\phi)^q}d\phi\int_t^R \ln (1+r)r^{\frac{2-p-q}{p}}dp.$% Так как при $%p>1$% на исчерпании верно двойное неравенство $%1\leq \cos^{(2/p)}\phi+\sin^{(2/p)}\phi\leq 2 ,$% то первый интеграл всегда сходится, а второй интеграл в нуле сходится при $% q-2< p,$% а на бесконечности он сходится при $%q-2>0.$% Ответ:$%0< q-2< p.$%

ссылка

отвечен 30 Май '17 18:26

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,618
×133
×98

задан
30 Май '17 11:07

показан
490 раз

обновлен
30 Май '17 18:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru