Определение $%\lambda$%-системы $%L$% содержит следующий пункт: $$\forall A_i \in L: A_i \uparrow A, A \in L$$

Его можно заменить на: $$\forall A_i \in L: A_i \cap A_j=\varnothing,\forall i\neq j, \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \in L $$

Не очень понятно, как доказать их эквивалентность, подскажите пожалуйста.

задан 30 Май '17 12:35

Желательна ссылка на полное определение, так как при доказательстве какими-то свойствами, возможно, придётся пользоваться.

(30 Май '17 12:39) falcao

@Falco, вот тут есть два эквивалентных определения: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Dynkin_system

(30 Май '17 13:47) Rocknrolla
10|600 символов нужно символов осталось
1

Замечу, что без конкретных ссылок на определения тут было бы ничего не сделать.

Такие вещи обычно проверяются при помощи простейших свойств операций над множествами. Пусть система удовлетворяет условиям второго определения. Рассмотрим множества $%A\subseteq B$% из системы. Она замкнута относительно операций дополнения и дизъюнктного объединения. В последнем случае можно брать конечные семейства множеств, так как система дополняется до счётной пустыми множествами (они принадлежат системе как дополнения универсального).

Берём дополнение $%B$%; оно принадлежит системе и не пересекается с $%A$%. Объединяем, и берём дополнение. Это даёт разность $%B$% и $%A$% по закону де Моргана.

Теперь рассматриваем вложенную возрастающую систему. Берём разности $%A_{i+1}$% и $%A_i$%. Они принадлежат системе, и попарно не пересекаются. Объединяем, и получаем $%A$%.

Теперь в обратную сторону. Пусть выполнены условия из первого определения. Тогда дополнение $%A$% получается как разность универсального множества и $%A$%. Проверяем третье условие. Пусть дано счётное дизъюнктное семейство множеств. Берём два не пересекающихся множества $%A$% и $%B$%. Тогда $%A$% содержится в дополнении $%B$%. Системе принадлежит разность второго и первого, а это дополнение объединения. Значит, дизъюнктное объединение двух множеств системы ей принадлежит. Формируем на основании этого множества $%A_1\cup A_2$%, $%A_1\cup A_2\cup A_3$%, ... , получая вложенную цепочку. Их объединение принадлежит системе, что и требовалось доказать.

ссылка

отвечен 30 Май '17 15:46

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×11

задан
30 Май '17 12:35

показан
433 раза

обновлен
30 Май '17 15:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru