задан 30 Май '17 20:23

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пока только первой части. Задача действительно интересная.

Описанный четырёхугольник со сторонами $%a < b < c < d$% удовлетворяет условию $%a+d=b+c$%. Оно необходимо и достаточно, так как из этих длин всегда составляется четырёхугольник ввиду $%d < a+b+c$%. Поэтому нас будет интересовать число таких четвёрок.

Докажем равенство по индукции. Обозначим ответ через $%f(n)$%. Для начальных значений всё легко проверяется: $%f(1)=f(2)=f(3)=0$%, $%f(4)=1$%.

Проводя арифметически выкладки, имеем равенство $%f(n)-f(n-1)=\frac{2n^2-8n+(-1)^n+7}8$%. Теперь найдём разницу между числом четвёрок для значений $%n$% и $%n-1$%. Это будут все четвёрки с условием $%d=n$%. При фиксированном значении $%a$% от $%1$% до $%n-3$%, количество промежуточных пар чисел $%b < c$% с суммой $%a+n$% равно $%[(n-a-1)/2]$%. Поэтому нас интересует значение суммы $%[2/2]+[3/2]+[4/2]+\cdots+[(n-2)/2]$%. Она легко подсчитывается.

При нечётных $%n$% получается $%1+1+2+2+\cdots+(n-3)/2+(n-3)/2=\frac{n-3}2\cdot\frac{n-1}2=\frac{n^2-4n+3}4$%. Это значение совпало с $%f(n)-f(n-1)$%. Для чётных $%n$% получится $%1+1+2+2+\cdots+(n-4)/2+(n-4)/2+(n-2)/2=\frac{n-4}2\cdot\frac{n-2}2+\frac{n-2}2=\frac{n^2-4n+4}2$%, что снова совпадает с требуемым значением.

По второй части задачи я пока вычислений не делал -- допишу позже

ссылка

отвечен 30 Май '17 22:34

Спасибо большое!

(31 Май '17 15:51) olga5
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,300

задан
30 Май '17 20:23

показан
323 раза

обновлен
31 Май '17 15:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru