Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить следующие задачи:

  1. Найти факторгруппы C/R и R/Z.

  2. Пусть A,B,C - подмножества в некотором множестве X. Доказать, что $%A\bigcap B \subseteq C$% тогда и только тогда, когда $%A\subseteq(X\setminus B)\bigcup C$%.

задан 30 Май '17 21:35

изменен 30 Май '17 21:50

10|600 символов нужно символов осталось
0

1) Говоря о группах, надо указывать не только множество, но и операцию. Здесь из контекста понятно, что речь идёт о группах относительно сложения.

Удобнее всего опираться на теорему о гомоморфизмах. Для случая C и R рассматриваем произвольное комплексное число a+bi, и сопоставляем ему мнимую часть, то есть число b. Получается отображение из C в R. Очевидно, что это гомоморфизм (мнимая часть суммы равна сумме мнимых частей). Очевидно также, что он сюръективен (так как мнимая часть может принимать любое значение из R). Ядром будет множество чисел с нулевой мнимой частью, а это R как подгруппа C. По теореме, факторгруппа по ядру изоморфна образу, то есть C/R есть R.

Для задачи про R/Z действует аналогично. Действительному числу x сопоставляем поворот плоскости на угол 2пx относительно начала координат. Это гомоморфизм, а также сюръекция. Получается, что R/Z изоморфна U -- группе поворотов плоскости вокруг точки.

Можно вместо поворотов брать комплексные числа, сопоставляя числу x из R комплексное число e^{2пix}. Тогда получается то же самое с точностью до изоморфизма: это будет единичная окружность как подгруппа в C относительно операции умножения.

2) Пусть $%A\cap B\subseteq C$%. Рассмотрим произвольный элемент $%a\in A$%. Докажем, что он принадлежит $%(X\setminus B)\cup C$%. Если $%a\in B$%, то $%a\in A\cap B$%, и ввиду включения множеств, $%a\in C$%. Тогда $%a$% принадлежит объединению. Если же $%a\notin B$%, то $%a\in X\setminus B$%, и элемент снова принадлежит объединению.

Все эти проверки осуществляются автоматически, если ставить перед собой вопрос, что дано, и что надо доказать.

В обратную сторону всё аналогично. Пусть дано, что $%A\subseteq(X\setminus B)\cup C$%. Нужно доказать включение. Тогда берём произвольный элемент $%a\in A\cap B$%. Он принадлежит $%A$%, и тогда по определению объединения он есть в $%X\setminus B$% или в $%C$%. Во втором случае всё доказано, а в первом случае получается $%a\notin B$% по определению разности множеств, что противоречит условию $%a\in A\cap B$% ввиду определения пересечения.

Расписывать в деталях такие вещи вообще-то скучно. Но я сделал это по двум причинам: первая: это не требует никаких усилий, и делается "на автомате". Вторая: есть шанс (хотя и не стопроцентный) что читатель это всё сходу поймёт и скажет: "До чего же это легко и просто! Я и сам теперь смогу так делать!".

ссылка

отвечен 30 Май '17 21:52

Большое спасибо! Это действительно оказалось не так сложно, как казалось!

(30 Май '17 22:30) Energetic
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521
×1,019
×627
×26

задан
30 Май '17 21:35

показан
505 раз

обновлен
30 Май '17 22:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru