Пусть G - группа,А и B - ее подгруппы. Доказать, что если С - подгруппа группы G такая, что С ⊆ A ∪ B, то C ⊆ A или C ⊆ B.

задан 30 Май '17 21:40

10|600 символов нужно символов осталось
0

Упражнение хотя и не сложное, но хорошее.

Рассуждать будем "от противного". Предположим, что $%C$% не содержится ни в $%A$%, ни в $%B$%. Из первого условия мы можем выбрать элемент $%x\in C$%, который не принадлежит $%A$%. Тогда $%x\in B$%, так как $%C$% содержится в объединении. Аналогично, из второго условия выбираем элемент $%y\in C$%, который не принадлежит $%B$%, и потому $%y\in A$%.

Оба элемента $%x$%, $%y$% принадлежат подгруппе $%C$%, поэтому $%xy$% ей также принадлежит. Тогда этот элемент содержится в объединении, и имеет место хотя бы один из двух случаев: $%xy\in A$% или $%xy\in B$%. Пусть имеет место первый случай. Тогда $%x=(xy)y^{-1}\in A$%, так как $%A$% -- подгруппа. Но это противоречит выбору элемента $%x$%. Теперь пусть имеет место второй случай. Здесь $%y=x^{-1}(xy)\in B$%, так как $%B$% -- подгруппа. Снова имеем противоречие. Это значит, что мы всё доказали.

ссылка

отвечен 30 Май '17 22:05

Блииин, все же просто....Большое спасибо)

(30 Май '17 22:18) Иван34332
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,019

задан
30 Май '17 21:40

показан
766 раз

обновлен
30 Май '17 23:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru