q - простое число, "C" с индексом q^∞ - множество всех комплексных чисел, удовлетворяющих равенству (x^q)^n=1 для любого n натурального. Определить отображение f: "C" с индексом q^∞ → C" с индексом q^∞ равенством f(x)=x^q. Показать, что отображение f - сюръективное.

Верно ли, что f - сюъективное, т.к. элемент q имеет прообраз в виде f(x)=x^q?

задан 30 Май '17 22:26

Тут какая-то путаница. Равенство не может быть выполнено для любого n -- это давало бы обычную циклическую группу. Чтобы получилась квазициклическая, нужно выполнение равенства для некоторого n.

Элемент q здесь не имеет ни образа, ни прообраза. Равенство f(x)=x^q показывает, что образ элемента x равен x^q, и это ничего не даёт. Доказывать надо, что любой элемент y из группы может быть представлен в виде x^q для некоторого комплексного x. Это следует из свойств комплексных чисел. Тогда x автоматически принадлежит группе в силу её определения, что доказывает сюръективность.

(30 Май '17 22:57) falcao

Хм, видимо, я ошибься в условие. Если дословно, то там не ЛЮБОГО, а КАКОГО-НИБУДЬ. Но это не облегчило ситуацию.

(30 Май '17 23:07) kokos1337

Я коротко уже изложил доказательство. В C можно извлечь из любого числа корень любой степени. Берём y из группы, извлекаем корень степени q, беря любое из значений корня. Это даёт x^q=y. По условию, y^{q^n}=1 для некоторого n. Тогда x^{q^{n+1}}=1. Значит, x тоже принадлежит группе. Это и доказывает сюръективность (любой элемент имеет прообраз).

(30 Май '17 23:15) falcao

Да до меня не доходит, какое именно свойство имеется в виду? Обычное представление типа y=x+iz?

(30 Май '17 23:17) kokos1337

@kokos1337: Вы наверняка решали задачи на извлечение корней n-й степени из комплексных чисел, то есть решали уравнения вида z^n=w, где w известно, и надо найти z. Это делается через тригонометрическую форму. Но здесь этого в явном виде делать не надо -- достаточно сослаться как на нечто известное. Роль n будет играть число q.

(31 Май '17 0:27) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,019
×252

задан
30 Май '17 22:26

показан
304 раза

обновлен
31 Май '17 0:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru