При каких а корни квадратного уравнения целые числа. Само уравнение (2а+3)х^2+ах +(3а-1)=0. Записал сумму и произведение корней (система). Одно из выражений обозначил к- целое число, выразил втрое уравнение системы через к, получил сумму и произведение корней через к, подставил все в первоначальное уравнение, получил новую задачу : при каких к - корни целые числа( с учётом того, что к- целое). Подскажите, пожалуйста, что дальше. Или может быть и начал неправильно

задан 31 Май '17 1:10

По моему таких а нет. Я построил график а от х и там вроде видно, что иксы нужно проверить -3, -2 , -1, если при этих иксах будет ещё один целый корень, то можно найти а. Но на графике видно, что проверить надо вроде бы только -3

(31 Май '17 2:32) epimkin

Да х =-3 и х =16 при а =-13/9.

(31 Май '17 2:45) epimkin

поучительный результат...

(31 Май '17 2:46) abc

Но этот способ мне не нравится: хотелось бы что нибудь аналитическое

(31 Май '17 2:48) epimkin

Ага этот способ убил весь кайф от задачи. Было бы прикольно провозиться целый час строго доказывая что решений нет, а в конце обнаружить сюрприз.

(31 Май '17 2:53) abc

@epimkin: это не все значения для a. Есть ещё a=-47/31.

(31 Май '17 2:57) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
3

Я решал так. Загадаем один целый корень k, подставим в уравнение, выразим a=-(3k^2-1)/(2k^2+k+3). Чтобы второй корень тоже был целым, необходимо и достаточно, чтобы сумма корней была таковой. Находим -a/(2a+3)=(3k^2-1)/(3k+11). Получается задача на делимость. Применяем нечто вроде алгоритма Евклида, и как следствие получаем, что 118 делится на 3k+11. Делителей не так много, они перебираются. Получаются значения k=-43, -4, -3, 16. Дальше по ним находится a, и значений будет два, потому что корни можно переставлять. Итого имеем два решения a=-47/31 и a=-13/9. Целые корни -- значения k.

Мне задача понравилась.

ссылка

отвечен 31 Май '17 3:03

@falcao, Вы меня переоцениваете: как получилось 118/3к+11, поясните, пожалуйста. И ещё , как выяснить, когда выражение ( при каких m) 9m^2+132m+12 является полным квадратом. Этот свой метод добиваю( m должно получиться 13 и в светеВашего решения ещё каким-то. Но мне принцип бы узнать

(31 Май '17 3:37) epimkin

@falkao, плохо задал вопрос : при каком m можноизвлечь корень из этого выражения?

(31 Май '17 3:43) epimkin

@epimkin: выделяем полный квадрат в Вашем случае: (3m+22)^2-472=N^2. Получается задача о разности квадратов, а она простая. Сумма и разность чисел 3m+22 и N имеют одну чётность, поэтому оба множителя чётны, и можно перейти к полусуммам. Это даёт uv=118, где u=(3m+22+N)/2, v=(3m+22-N)/2. Возникает то же самое число, что и у меня. Дальше всё анализируется просто.

Я пришёл к этому числу так: 3k^2-1 делится на 3k+11, и 3k^2+11k тоже. Значит, 11k+1 тоже делится. Вычитаем утроенное 3k+11 (как в алгоритме Евклида), и видим, что 2k-32 делится. Далее разность k+43 делится, 3k+129, а также 118.

(31 Май '17 9:34) falcao

Спасибо , буду учиться и разбираться

(31 Май '17 17:44) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
31 Май '17 1:10

показан
333 раза

обновлен
31 Май '17 17:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru