условие: https://prnt.sc/fdzigp Я пытался через интегральную сумму, но ответ не совпал: $%1/6$% -- получилось, а в ответах $%1$%.

  • Так там все так и можно через интегральную сумму(я выделял в числителе и знаменателе интегральную сумму)?
  • Потом мне сказали решить другим способом (т.к. сказали, что здесь интегральным никак): выделил ряд в числителе и знаменателе, раскрыл квадрат суммы в числителе,представил числитель в виде суммы и разности рядов, а дальше каждый из них подилил на знаменатель. А дальше не знаю как!?
  • И еще меня спросили, но я не понимаю, как доказать, что т.к. сумма $%k^2$% убывает быстрее, чем сумма $%k$%, то эта дробь в пределе моем получается равна $%0$% ? (сказали только, что как-то нужно оценить эти ряды, еще что-то про главный вклад сказали, чтобы я нашел у ряда $%k^2$%, но тоже не понимаю как?(ответ сказали: $%N^3/3$%), при ряде от 1 до N)

А вот мои каракули(здесь не все решение, я вообще больше писал, просто думаю, что это основная часть): https://prnt.sc/fdztf0

задан 31 Май '17 1:22

изменен 31 Май '17 1:32

То, что сумма 1+2+...+n растёт медленнее суммы квадратов, в принципе обосновать несложно, но это "возня". Идея такая: сумму чисел k грубо оцениваем сверху как n^2. Сумму квадратов оцениваем снизу: там половина слагаемых больше (n/2)^2, откуда получается оценка n^3/8. Сверху квадрат, снизу куб. Значит, частное стремится к нулю. Но так решать вообще-то ни к чему.

(31 Май '17 1:51) falcao

@falcao, спасибо, а почему ни к чему?Т.к. такое решение дольше?Просто меня таким путем отправили после того, как я интегральным начал, но не смог им решить(( А что за оценка сверху и снизу?

(31 Май '17 1:57) Романенко

@Романенко а мне понравилось ваше решение. Грубые асимптотические оценки это в русле идеологии матанализа

(31 Май '17 2:23) abc

@Романенко: такой способ решения показывает незнание стандартных фактов и неумение находить суммы. Этим он, с моей точки зрения, плох.

Оценкой сверху для величины A называется величина B, для которой верно неравенство A<=B. Аналогично для оценки снизу. Это общепринятые выражения.

(31 Май '17 2:26) falcao

@abc, спасибо, а что такое асимптотические оценки?а, что Вы имеете ввиду под идеологией матанализа, я просто не очень Вас понимаю(( ?

(31 Май '17 2:29) Романенко

@Романенко ну оценки суммы снизу и сверху при стремлении n к бесконечности, что проделал falcao. В матанализе часто требуются такие грубые оценки последовательностей или функций, без их точного вычисления. Потому что на бесконечности они ведут себя точно так же как и сама последовательность

(31 Май '17 2:37) abc
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

Обе величины в числителе и знаменателе хорошо суммируются. Числитель равен $%\frac{(2n-1)n(2n+1)}3$%, а знаменатель равен $%\frac{2n(n+1)(2n+1)}3$%. То и другое доказывается методом математической индукции. Тогда ясно, что отношение равно $%\frac{2n-1}{2n+2}$%, и предел равен $%1$%.

Можно, конечно, использовать и интегральные суммы, и другие соображения. Но это самый прямой способ.

ссылка

отвечен 31 Май '17 1:38

@falcao, спасибо, а как у Вас получился такой знаменатель и числитель?Все остальное дальше понятно!) Если доказывается мат. индукцией, то значит Вы в уме это предположили?

(31 Май '17 1:51) Романенко

@falcao, я подставил в числитель( (2n−1)n(2n+1)/3 ) натуральные числа с $%1$% и у меня получилось: 1,10,35....А разве не должно получаться: 1, 9, 25...?

(31 Май '17 2:07) Романенко

@Романенко: подставили Вы всё верно, но надо было квадраты просуммировать. Тогда и будут 10=1+9, 35=1+9+25.

Суммирование степеней -- вещь хорошо известная. Мы эту технику осваивали ещё в школе. Доказательство по индукции -- вещь простая. А сам вид формул надо или знать, или его можно вывести как гипотезу, а потом уже доказать. Идея примерно такая: мы анализируем, на что делятся числа 1, 10, 35, 84, 165, ... , и отсюда получаем закономерность.

(31 Май '17 2:17) falcao

@falcao, простите снова за глупый вопрос, а почему Вы берете 1+9 ? А и еще можете рассказать пожалуйста про главный вклад, я искал, но не нашел пока, что это такое((((

(31 Май '17 2:31) Романенко

@Романенко: я очень редко причисляю вопросы к категории глупых, но здесь должен признаться, что эта самохарактеристика вполне подходящая :) Ответ лежит на поверхности: я суммирую потому, что суммы были даны в условии :) Чему равно значение числителя 1^2+3^2+...+(2n-1)^2 при n=1, n=2, n=3?

(31 Май '17 2:34) falcao

@falcao, 1, 9, 25

(31 Май '17 2:37) Романенко

Это слагаемые. А там есть знаки "плюс". Поэтому будут числа 1, 1+9, 1+9+25, и так далее.

Эти объяснения начинают уже граничить с маразмом, поэтому я думаю, что дальше об этом говорить не стоит.

(31 Май '17 2:42) falcao

@falcao, Спасибо, да думаю завтра со свежей головой посмотрю и думаю пойму, все так и ночь уже, организм уже спит находу!(((( И еще: а Вы можете пожалуйста про главный вклад рассказать или ссылку на какой-нибудь источник(пока что нигде не нашел про это) ?

(31 Май '17 3:03) Романенко
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
0

Есть такой факт, что сумма $%1^n+2^n+3^n \ldots + k ^n $% - есть многочлен от $%n+1$% степени.
Тогда мы можем найти функцию методом неопределенных коэф.:
$% f(1) = 1; f(2) = 5; f(3) = 14; f(4) = 30 $%, тогда:
$% a+b+c+d = 1 $%
$% 8a+4b+2c+d = 5 $%
$% 27a+9b+3c+d = 14 $%
$% 64a+16b+4c+d = 30 $%
Решив эту систему получим: $% a = 1/3; b = 1/2; c = 1/6, d = 0 $%
$% f(x) = 1/6n(n+1)(2n+1)$%, теперь зная эту формулу, можем получить для нечетных:
$% \sum\limits_{k=1}^{n} = (2k-1)^2 \to 4k^2-4k+1 $% - Подставляем для сумму. ариф. прогрессии для квадратов и получаем: $% f(x) = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3} $%
Чтобы получить для $%\sum\limits_{k=1}^{n} (2k)^2 = 2/3 \cdot n(2n+1)(n+1)$%
Ну а дальше все просто....

ссылка

отвечен 31 Май '17 3:34

изменен 31 Май '17 3:38

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,862
×743

задан
31 Май '17 1:22

показан
670 раз

обновлен
31 Май '17 3:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru