$$\int_{0}^{\infty}\frac{xsinx}{(x^2+4)^2}dx$$

задан 31 Май '17 11:44

10|600 символов нужно символов осталось
1

Подынтегральная функция - четная, поэтому ответ равен половине интеграла $%\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\sin x}{(x^2+4)^2}dx.$% Замкнем отрезок $%[-R;R]$% верхней полуокружностью с диаметром - этим отрезком, найдем интеграл от функции $%\frac{ze^{iz}}{(z^2+4)^2}$% по образовавшемуся контуру и перейдем к пределу при $% R \to \infty.$% Согласно лемме Жордана такой предел будет равен удвоенному ответу. Внутри контура подынтегральная функция имеет только один полюс второго порядка в т. $% 2i,$% найдем вычет в этом полюсе по формуле $% res \frac{ze^{iz}}{(z^2+4)^2}=(\frac{ze^{iz}}{(z+2i)^2})'|_{z=2i}=1/8.$% согласно основной т. о вычетах ответ будет равен умноженной на $%2\pi$% половине от вещественной части вычета, т.е. $%\pi/8$%

ссылка

отвечен 31 Май '17 14:21

изменен 31 Май '17 14:28

@Амфибрахий: по-моему, там численный ответ будет какой-то другой -- туда должны войти e^2 или e^{-2}. Если не ошибаюсь, будет п/(8e^2).

(31 Май '17 19:39) falcao
1

@falcao, да, я сразу вынес экспоненту "за скобки" и благополучно о ней забыл... Правильный вычет $%1/(8e^2)$% и ответ $%\pi/(8e^2).$%.

(31 Май '17 19:58) Амфибрахий
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×159

задан
31 Май '17 11:44

показан
291 раз

обновлен
31 Май '17 19:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru