Доброго времени суток. Подскажите, пожалуйста, с задачей: Найдите центр матричной алгебры над полем (любым доступным способом).

задан 31 Май '17 19:47

Центр состоит из всех скалярных матриц, то есть матриц вида aE, где a -- элемент поля.О том же самом уже спрашивали здесь.

(31 Май '17 20:22) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

По определению центра алгебры над полем, требуется найти такие матрицы, которые перестановочны со всеми. Очевидно, что таким свойством обладает единичная матрица, а также единичная матрица, умноженная на произвольный скаляр $%a$%. Это диагональная матрица с одинаковыми элементами на главной диагонали. Докажем, что других матриц с нужным нам свойством нет.

Введём понятие матричной единицы (не путать с единичной матрицей!): это матрица, обозначаемая $%e_{ij}$%, в которой имеется ровно одна 1 на пересечении $%i$%-й строки и $%j$%-го столбца, а все остальные элементы равны нулю. Легко видеть, что все такие матрицы в количестве $%n^2$% штук образуют базис в пространстве матриц $%n$%-го порядка, и что матрица $%X=\|x_{ij}\|$% может быть разложена в сумму $%\sum\limits_{i,j}x_{ij}e_{ij}$%, где суммирование ведётся по всем упорядоченным парам индексов.

Для того, чтобы матрица $%X$% принадлежала центру алгебры, то есть была перестановочна со всеми матрицами, необходимо и достаточно, чтобы она коммутировала со всеми матричными единицами. Для матричных единиц существует очень простое правило перемножения, которое следует из правил умножения матриц. А именно, произведение $%e_{ij}e_{kl}$% равно нулю (нулевой матрице), если $%j\ne k$%, и оно равно $%e_{il}$%, если $%j=k$%.

Теперь рассмотрим равенство $%Xe_{ij}=e_{ij}X$% для каких-то фиксированных $%i$%, $%j$%. Матрицу $%X$% разложим по матричным единицам, как это было сделано выше. Тогда окажется, что $%e_{ij}X=e_{ij}(x_{j1}e_{j1}+\cdots+x_{jn}e_{jn})$%, так как остальыне члены суммы, где первый индекс не равен $%j$%, можно не учитывать -- они дадут нулевое произведение. Отсюда мы получаем, что $%e_{ij}X=x_{j1}e_{i1}+\cdots+x_{jn}e_{in}$%.

Аналогично, $%Xe_{ij}=(x_{1i}e_{1i}+\cdots+x_{ni}e_{ni})e_{ij}=x_{1i}e_{1j}+\cdots+x_{ni}e_{nj}$%.

Мы получили две равные матрицы, у которых равны коэффициенты при одних и тех же матричных единицах. Осталось сделать выводы. Коэффициент при $%e_{ij}$% в одном случае равен $%x_{jj}$%, а в другом он равен $%x_{ii}$%. Отсюда следует, что все диагональные элементы матрицы $%X$% попарно равны: $%x_{jj}=x_{ii}$% -- ввиду того, что $%i$%, $%j$% произвольны.

Теперь заметим, что у первой из двух равных между собой сумм, все коэффициенты $%x_{j1}$%, ... , $%x_{jn}$%, за исключением $%x_{jj}$%, равны нулю. Это в точности элементы $%j$%-й строки матрицы $%X$% кроме диагонального. Ввиду произвольности $%j$%, они равны нулю для любой строки. Этим доказано, что все матричные элементы $%X$% вне главной диагонали равны нулю, а элементы на главной диагонали одинаковые. Тем самым доказано, что матрица из центра алгебры является скалярной.

ссылка

отвечен 6 Июн '17 20:37

@falcao: спасибо за терпение и объяснения!

(6 Июн '17 21:16) any5957
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520

задан
31 Май '17 19:47

показан
744 раза

обновлен
6 Июн '17 21:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru