Какие возможны порядки элементов в $%GL_2(\mathbb{Z})$%? Найти примеры элементов возможных порядков.

задан 31 Май '17 23:55

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пример элемента бесконечного порядка привести очень легко: (1 1 // 0 1). Далее анализируем случай матриц конечного порядка.

Собственные числа матрицы являются корнями характеристического многочлена второй степени с целыми коэффициентами. Если матрица имеет порядок n, то собственные числа в n-ой степени равны 1. Если они вещественные, то они могут принимать только значения 1 и -1. Матрица в жордановой форме должна быть диагональной -- в противном случае она конечный порядок иметь не может. При таком условии оказывается, что матрица в квадрате равна единичной, то есть она имеет порядок 1 или 2. Примеры: E и -E.

Теперь пусть оба корня мнимые. Их модули равны 1, и они сопряжены, то есть имеют вид cos ф+i sin ф, cos ф - i sin ф. Сумма этих корней, то есть 2cos ф, является целым числом в силу теоремы Виета, а sin ф отличен от нуля. Тогда косинус может принимать только значения 0, 1/2, -1/2.

Если косинус равен нулю, то собственные числа равны i и -i, а характеристический многочлен равен t^2+1. След равен 0, определитель 1. Пример такой матрицы: (0 1 // -1 0). Возводим её в квадрат, что даёт -E. Значит, порядок этой матрицы равен 4.

Если косинус равен 1/2, то корни равны 1/2+i sqrt(3)/2 и 1/2-i sqrt(3)/2. Характеристический многочлен равен t^2-t+1: след и определитель равны 1. Пример такой матрицы: (1 1 //-1 0). Находим её квадрат и куб. Они неединичные, а куб равен -E. Значит, это матрица порядка 6.

Аналогично, если косинус равен -1/2, то имеем матрицу (-1 1 // -1 0) порядка 3.

Итого порядки элементов группы или бесконечны, или принимают значения 1, 2, 3, 4, 6.

ссылка

отвечен 1 Июн '17 10:04

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
31 Май '17 23:55

показан
282 раза

обновлен
1 Июн '17 10:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru