Описать все простые идеалы в $%\mathbb{R}[x]$%

задан 1 Июн '17 10:42

R -- поле, поэтому R[x] -- кольцо главных идеалов. Простые идеалы имеют вид (f(x)), где f(x) неприводим над R. По классификации, это значит, что f(x) или линеен, или квадратичен с отрицательным дискриминантом.

(1 Июн '17 10:47) falcao

Еще нулевой идеал простой.

Если его не учитывать, то логика такая?

P - ненулевой простой идеал iff P=(p) [т.к. R[x] - PID] iff p простой элемент [более менее очевидно] iff p неприводимый элемент [т.к. R[x] - PID] iff p линеен или квадратичен с отрицательным дискриминантом

(20 Июл '18 0:59) Slater

@Slater: да, нулевой идеал надо отдельно учесть. Но здесь ситуация абсолютно прозрачная. Идеалы главные, вида (f(x)). Если f(x) -- ненулевая константа, то идеал совпадает с кольцом, и он простой. В случае "настоящего" многочлена, если он приводим, то сомножители ему не принадлежат. Тогда идеал не простой. Если неприводим, то в разложении g(x)h(x), где произведение делится на f(x), хотя бы один сомножитель делится из соображений факториальности. Остальное очевидно из классификации неприводимых над R многочленов. Ничего нового тут как бы нет.

(20 Июл '18 1:13) falcao

Ну можно и так, но я просто хотел удостовериться, что моя цепочка эквиваленций валидна.

(20 Июл '18 1:16) Slater
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
1 Июн '17 10:42

показан
223 раза

обновлен
20 Июл '18 1:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru