Пусть $%F$% - конечное поле, чей порядок есть степень тройки. Доказать, что $%F$% содержит квадратный корень из -1 тогда и только тогда когда $%F$% содержит корень 4 степени из -1.

задан 1 Июн '17 10:48

10|600 символов нужно символов осталось
2

Порядок мультипликативной группы поля равен 3^n-1 для некоторого n. Эта группа является циклической. По условию, она содержит элемент порядка 4 (корень из -1). Значит, 3^n-1 делится на 4 по теореме Лагранжа. Последнее означает, что n чётно (в противном случае остаток от деления на 4 был бы равен 2). Тогда n=2m, и группа имеет порядок 9^n-1, что делится на 8, так как 9 сравнимо с 1 по модулю 8. По свойству циклической группы, она имеет элемент порядка 8. Пусть это x; рассмотрим элемент y=x^4. По условию, y^2=1, но y не равно 1. Тогда из равенства (y-1)(y+1)=0 заключаем, что y=-1. Это доказывает, что в группе имеется корень 4-й степени из -1.

ссылка

отвечен 1 Июн '17 10:57

А в другую строну -- если x - корень 4 степени из -1, то x^2 - корень 2 степени из -1, и всё?

(13 Июн '17 17:59) Slater

@Slater: да, конечно. Это я даже не стал явно упоминать.

(14 Июн '17 0:49) falcao

Как из того что есть элемент квадрат которого равен -1 следует что есть элемент порядка 4? Например, в Q -1 есть кубический корень из -1, но -1 не имеет порядок 6.

(16 Июн '18 6:22) Slater

@Slater: допустим, что x^2=-1. Тогда x^4=1. Отсюда следует, что порядок x равен 4, так как он делит 4, и если он не равен 4, то он делит 2. Однако мы знаем, что x^2 не равно 1. Для числа 6 это рассуждение не проходит, так как если x^6=1, то порядок x равен 6 iff x^2 не равно 1 и x^3 не равно 1, но последнее уже ниоткуда не следует.

(16 Июн '18 12:33) falcao

Спасибо, понятно. А "свойство циклической группы" - это то, что в ней есть элементы любого порядка, который делит порядок группы? И следует это из формулы для порядка элемента c^k?

(17 Июн '18 0:08) Slater

@Slater: про конечные циклические группы к этому моменту всё должно быть известно. Если образующий x имеет порядок n, то для любого d|n элемент x^{n/d} имеет порядок d. Это мгновенно следует из определения порядка. Общая формула рассчитана на чуть более сложный случай, хотя из неё всё тоже следует.

(17 Июн '18 1:31) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
1 Июн '17 10:48

показан
611 раз

обновлен
17 Июн '18 1:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru