0
2

Найти степень расширения $%\mathbb{Q}[\sqrt{2}+\sqrt[3]{5}]$% над $%\mathbb{Q}$%

задан 1 Июн '17 10:53

@Slater: поскольку речь о полях, лучше брать круглые скобки. Для алгебраического элемента a кольцо Q[a] будет полем, но ввиду того, что это так, лучше сразу писать в виде Q(a).

(1 Июн '17 13:01) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Легко убедиться, $%Q[\sqrt{2};\sqrt[3]{5}]=Q[\sqrt{2}+\sqrt[3]{5}].$% Если $%p\sqrt{2}+q\sqrt[3]{5}=0, p,q\in Q, $% то $%5q^3=-2p^3\sqrt{2}, p,q\in Q, $% поэтому $%p=q=0,$% т.е. присоединенные элементы линейно независимы над полем рац. чисел, и степень расширения равна 2.

ссылка

отвечен 1 Июн '17 11:14

изменен 1 Июн '17 11:41

@Амфибрахий: степень расширения не может быть равна двум -- ведь 5^{1/3} не является корнем многочлена второй степени с рациональными коэффициентами. Для Q(2^{1/2},5^{1/3}) степень равна 6, что легко проверяется рассмотрением промежуточного подполя Q(sqrt(2)). Основное как раз -- доказать первое равенство.

(1 Июн '17 12:59) falcao

Согласен, башня полей показывает, что степень равна 6, я забыл учесть произведение корней, произведение первого корня на квадрат второго и т.п.

(1 Июн '17 15:21) Амфибрахий

Так как в итоге найти степень?

(3 Июл 6:42) Slater

@Slater: эта ситуация уже много раз возникала. Рассматриваем башню полей Q < Q(sqrt(2)) < Q(2^{1/2},5^{1/3}). Достаточно доказать, что 5^{1/3} имеет степень 3 над Q(2^{1/2}). Тогда степень расширения будет равна 6. Обосновать над то, что x^3-5 неприводим над Q(2^{1/2}). Это равносильно отсутствию корней в данном поле. Рассматриваем элемент a+b2^{1/2}, где a,b рациональны. Возводим в куб, пишем, что куб равен 5. Это даёт ab=0. После чего всё следует из иррациональности корней.

(3 Июл 12:44) falcao

Этим найдется степень Q(2^{1/2},5^{1/3}) над Q, а надо найти степень Q(2^{1/2}+5^{1/3}) над Q. Т.е., наверное, надо еще доказать, что степени равны? С этим посложнее.

"Это даёт ab=0" Это дает $%(a^3+6ab^2)+(3a^2b+2b^3)\sqrt{2}=5$%. Откуда ab=0?

(10 Июл 1:04) Slater

@Slater: это я мысленно возвёл в квадрат вместо куба. Но здесь надо написать b(3a^2+2b^2)=0, откуда b=0.

(10 Июл 1:15) falcao

А как доказать, что степени Q(2^{1/2}+5^{1/3}) и Q(2^{1/2},5^{1/3}) над Q равны?

(10 Июл 1:30) Slater

@Slater: пусть a=2^{1/2}, b=5^{1/3}. Поле Q(a,b) имеет базис {1,a,b,ab,b^2,ab^2} над Q. Рассматриваем степени x=a+b, раскладываем по базису. Достаточно проверить, что 1,x,x^2,x^3 линейно независимы. Тогда степень x больше 3, но она делит 6, то есть равна 6. Это достаточно общий способ, а как сделать из совсем общих соображений, я не знаю.

(10 Июл 3:11) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,569

задан
1 Июн '17 10:53

показан
444 раза

обновлен
10 Июл 3:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru