|
Окружности s1 и s2 радиусов R и r соответственно касаются в точке А. Через точку В, лежащую на окружности S1, проведена прямая, касающаяся окружности S2 в точке М. Как найти BM, если известно, что АВ=2? задан 23 Янв '13 9:53 
tatyanajagupova |
|
Используйте то, что треугольник $%ВАМ$% прямоугольный. Из равнобедреных треугольников $%O_1AB, O_2AM$%, где $%O_1,O_2$% - центры 1-й, 2-й окружностей, выразите половины $%AB, AM$% через радиусы и тригонометрические функции $%sin({alfa}/2),sin({(180-alfa)}/2)=cos({alfa}/2)$%, получите $%AM$%. После чего получите $%BM$%. отвечен 23 Янв '13 14:32 
Lyudmyla |
|
Предложенное решение неправильное, так как треугольник BAM не является прямоугольным в силу произвольности точки B. Прямая BM касается только окружности S2. Предлагаю правильное решение. Продолжим отрезок BM до пересечения с S2 в точке C. Треугольники AO1B и AO2C подобны. Значит, AB/AC=R/r, AC=ar/R. BC=a+ar/R=a(R+r)/R. BM – касательная к S2, BC – секущая. По свойству касательной и секущей имеем: BM^2=ABBC, BM^2=a^2(R+r)/R. Таким образом, BM=aкорень((R+r)/R). отвечен 29 Авг '16 15:46 
Ольга Вячесл... @Ольга Вячесл... в подробности не вникал... но мне думается, что Ваше решение тоже не полное... Здесь же не сказано, как именно касаются окружности - внешним или внутренним образом... то есть ответов должно быть два... (Многовариантность - это в духе планиметрических задач того времени на ЕГЭ)...
(29 Авг '16 18:40)
all_exist
@Ольга Вячесл...: прямая BM пересекается с S2 только в точке M. Наверное, речь о пересечении с S1 в точке, отличной от B?
(29 Авг '16 18:44)
falcao
Что за треугольники? И почему они подобны? У подобных треугольников углы равные…
(29 Авг '16 21:31)
abracadabra
@abracadabra: там просто опечатка в обозначениях, а остальное верно. Имелось в виду продолжение прямой AB до пересечения в точке C.
(29 Авг '16 22:35)
falcao
@falcao Я ж и не говорю, что неверно, — просто не знаю… Ладно, попробую разобраться сам…
(29 Авг '16 22:49)
abracadabra
|
|
До кучи грубое решение в лоб... Пусть точки $%O$% и $%Q$% - центры окружностей радиусов $%R$% и $%r$% соответственно... Пусть $%AB=a$% (для большей общности)... Из равнобедренного треугольника $%OAB$% находим косинус угла при вершине $%O$%... $$ \cos\angle AOB =1-2\cdot\sin^2\frac{\angle AOB}{2} = 1-2\cdot\left(\frac{a}{2\cdot R}\right)^2 $$ Точки $%O$%, $%A$% и $%Q$% лежат на одной прямой, поэтому $%OQ=R\pm r$%, где знак плюс/минус соответствует внешнему/внутреннему касанию окружностей... Тогда по теореме косинусов для треугольника $%OBQ$% получим, что $$ BQ^2=R^2+(R\pm r)^2-2\cdot R\cdot(R\pm r)\cdot\frac{2\cdot R^2-a^2}{2\cdot R^2}=\frac{R\cdot r^2 +a^2\cdot(R\pm r)}{R} $$ Остаётся применить теорему Пифагора для треугольника $%MBQ$% и получить ответ $$ BM^2=BQ^2-r^2=\frac{a^2\cdot(R\pm r)}{R} $$ отвечен 30 Авг '16 19:45 
all_exist @all_exist: оказывается, там ещё и тип касания может быть разным (я только сейчас это заметил -- считал, что касание является внешним, хотя в условии про это ничего не сказано).
(30 Авг '16 21:47)
falcao
|
Вообще-то можно рассмотреть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой. Гипотенуза соединяет точку B с центром второй окружности. Катет первого треугольника лежит на прямой, соединяющей центры окружностей; длину этого катета можно высчитать, используя R и AB (через синус угла AOB). Катет второго треугольника BM лежит на касательной ко второй окружности; чтобы его найти, нужно вычислить гипотенузу. Вообще-то всё считается, если известны числа, но выражение для длины второго катета получается очень уж громоздким…