Окружности s1 и s2 радиусов R и r соответственно касаются в точке А. Через точку В, лежащую на окружности S1, проведена прямая, касающаяся окружности S2 в точке М. Как найти BM, если известно, что АВ=2?

задан 23 Янв '13 9:53

сделан вопросом 23 Янв '13 10:49

DocentI's gravatar image


9.9k21850

Вообще-то можно рассмотреть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой. Гипотенуза соединяет точку B с центром второй окружности. Катет первого треугольника лежит на прямой, соединяющей центры окружностей; длину этого катета можно высчитать, используя R и AB (через синус угла AOB). Катет второго треугольника BM лежит на касательной ко второй окружности; чтобы его найти, нужно вычислить гипотенузу. Вообще-то всё считается, если известны числа, но выражение для длины второго катета получается очень уж громоздким…

(29 Авг '16 21:39) abracadabra
10|600 символов нужно символов осталось
1

Используйте то, что треугольник $%ВАМ$% прямоугольный. Из равнобедреных треугольников $%O_1AB, O_2AM$%, где $%O_1,O_2$% - центры 1-й, 2-й окружностей, выразите половины $%AB, AM$% через радиусы и тригонометрические функции $%sin({alfa}/2),sin({(180-alfa)}/2)=cos({alfa}/2)$%, получите $%AM$%. После чего получите $%BM$%.

ссылка

отвечен 23 Янв '13 14:32

изменен 23 Янв '13 20:19

10|600 символов нужно символов осталось
1

Предложенное решение неправильное, так как треугольник BAM не является прямоугольным в силу произвольности точки B. Прямая BM касается только окружности S2. Предлагаю правильное решение. Продолжим отрезок BM до пересечения с S2 в точке C. Треугольники AO1B и AO2C подобны. Значит, AB/AC=R/r, AC=ar/R. BC=a+ar/R=a(R+r)/R. BM – касательная к S2, BC – секущая. По свойству касательной и секущей имеем: BM^2=ABBC, BM^2=a^2(R+r)/R. Таким образом, BM=aкорень((R+r)/R).

ссылка

отвечен 29 Авг '16 15:46

@Ольга Вячесл... в подробности не вникал... но мне думается, что Ваше решение тоже не полное... Здесь же не сказано, как именно касаются окружности - внешним или внутренним образом... то есть ответов должно быть два... (Многовариантность - это в духе планиметрических задач того времени на ЕГЭ)...

(29 Авг '16 18:40) all_exist

@Ольга Вячесл...: прямая BM пересекается с S2 только в точке M. Наверное, речь о пересечении с S1 в точке, отличной от B?

(29 Авг '16 18:44) falcao

Что за треугольники? И почему они подобны? У подобных треугольников углы равные…

(29 Авг '16 21:31) abracadabra

@abracadabra: там просто опечатка в обозначениях, а остальное верно. Имелось в виду продолжение прямой AB до пересечения в точке C.

(29 Авг '16 22:35) falcao

@falcao Я ж и не говорю, что неверно, — просто не знаю… Ладно, попробую разобраться сам…

(29 Авг '16 22:49) abracadabra
10|600 символов нужно символов осталось
1

До кучи грубое решение в лоб...

Пусть точки $%O$% и $%Q$% - центры окружностей радиусов $%R$% и $%r$% соответственно... Пусть $%AB=a$% (для большей общности)...

Из равнобедренного треугольника $%OAB$% находим косинус угла при вершине $%O$%... $$ \cos\angle AOB =1-2\cdot\sin^2\frac{\angle AOB}{2} = 1-2\cdot\left(\frac{a}{2\cdot R}\right)^2 $$

Точки $%O$%, $%A$% и $%Q$% лежат на одной прямой, поэтому $%OQ=R\pm r$%, где знак плюс/минус соответствует внешнему/внутреннему касанию окружностей... Тогда по теореме косинусов для треугольника $%OBQ$% получим, что $$ BQ^2=R^2+(R\pm r)^2-2\cdot R\cdot(R\pm r)\cdot\frac{2\cdot R^2-a^2}{2\cdot R^2}=\frac{R\cdot r^2 +a^2\cdot(R\pm r)}{R} $$ Остаётся применить теорему Пифагора для треугольника $%MBQ$% и получить ответ $$ BM^2=BQ^2-r^2=\frac{a^2\cdot(R\pm r)}{R} $$

ссылка

отвечен 30 Авг '16 19:45

@all_exist: оказывается, там ещё и тип касания может быть разным (я только сейчас это заметил -- считал, что касание является внешним, хотя в условии про это ничего не сказано).

(30 Авг '16 21:47) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,924

задан
23 Янв '13 9:53

показан
3727 раз

обновлен
30 Авг '16 21:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru