Рассмотрим кольцо $%R=\mathbb{Q}[x,\sqrt{x},\sqrt[4]{x},\sqrt[8]{x},\dots]$%. Доказать, что каждый конечно порожденный идеал в $%R$% главный. Найти какой-нибудь неглавный идеал в $%R$%.

задан 1 Июн '17 11:08

10|600 символов нужно символов осталось
1

Порождающие идеала выражаются через конечное число радикалов. Тогда из них можно оставить один (последний). В этом случае получается кольцо многочленов, и там берётся НОД, что приводит к главному идеалу.

В качестве примера не главного идеала рассмотрим множество многочленов с нулевым свободным членом. Очевидно, что это идеал. Если бы он был главным, то он порождался бы каким-то элементом вида $%\sqrt[2^n]{x}$%. Но тогда следующий радикал, у которого свободный член нулевой (то есть значение в нуле равно нулю), не принадлежал бы такому идеалу, так как $%\sqrt{t}$% полиномиально не выразить через $%t$%.

ссылка

отвечен 1 Июн '17 19:25

Первую часть не совсем понял. Например, есть идеал $%(1+2x+3\sqrt[4]{x}, 3\sqrt{x}, 5+\sqrt[16]{x})$%. "Последний" - это кто в данном случае? $%\sqrt[16]{x}$%? Где "получается" кольцо многочленов?

(4 Июн '17 16:50) Slater

@Slater: самый "последний" из радикалов здесь -- это корень 16-й степени. Обозначаем его через t, и выражаем через него все порождающие идеала в виде многочленов. Заменяем эти многочлены на их НОД в кольце Q[t]. Они все делятся на НОД, а НОД выражается через них в виде линейной комбинации с коэффициентами-многочленами. Теперь, когда мы оставили d(t), возвращаем t=x^{1/16}, и получаем главный идеал, порождённый d(x^{1/16}), который совпадает с исходным.

(4 Июн '17 16:56) falcao

"Следующий радикал" - это $%\sqrt[2^{n+1}]{x}$%? То есть имеется в виду, что например $%\sqrt[16]{x}\notin (\sqrt[8]{x})$% ?

(20 Окт '18 5:05) Slater

@Slater: да, разумеется. Там указана причина: sqrt(t) -- не многочлен от t. Или z -- не многочлен от z^2.

(20 Окт '18 5:25) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
1 Июн '17 11:08

показан
383 раза

обновлен
20 Окт '18 5:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru