(a) Сколько различных подгрупп порядка 4 содержит $%S_4$%?

(b) Существует ли сюръективный гомоморфизм из $%S_4$% в $%S_3$%? А из $%S_5$% в $%S_4$%?

задан 1 Июн '17 11:16

10|600 символов нужно символов осталось
1

а) Подгруппа порядка 4 изоморфна или Z_4, или Z_2 x Z_2. Элементы порядка 4 -- это циклы такой же длины. Легко видеть, что их 6, и они распределены по трём подгруппам, по две штуки в каждой. Элементы порядка 2 -- это или транспозиции, или произведения двух независимых транспозиций. Тогда подгруппа, изоморфная Z_2 x Z_2, есть либо V_4 = {e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}, либо имеет вид {e,(ab),(cd),(ab)(cd)} для двух независимых транспозиций. Подгрупп последнего вида имеется три (по признаку того, с чем вместе идёт 1). Итого 6+1+3=10 подгрупп.

б) Подгруппа V_4 нормальна в S_4. Факторгруппа по ней имеет порядок 6. Такая группа изоморфна или S_3, или Z_6. Но второй случай невозможен, так как элементов порядка 6 нет уже в S_4, не говоря о гомоморфном образе.

Можно дать более прямое геометрическое доказательство. Очевидно, что S_4 есть группа симметрий тетраэдра. Рассмотрим прямые, соединяющие середины противоположных рёбер. При каждом самосовмещении тетраэдра эти прямые как-то переставляются, что даёт гомоморфизм в S_3. Непосредственно можно усмотреть, что ядро равно V_4, откуда следует, что образ равен S_3, и перед нами сюръекция.

Если бы была сюръекция S_5 на S_4, то ядро имело бы порядок 5. Такая группа циклична, и она порождена циклом длины 5. Но тогда она не может быть нормальной, так как все циклы этого вида сопряжены, и их очень много (24 штуки). В подгруппу порядка 5 все они заведомо не вместятся.

ссылка

отвечен 1 Июн '17 13:37

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
1 Июн '17 11:16

показан
352 раза

обновлен
1 Июн '17 13:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru