$$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt(x)(x^2+4)} $$

задан 1 Июн '17 15:27

math.hashcode.ru/questions/130374/ смотрите аналоги...

(1 Июн '17 16:05) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
2

Заменим переменную: $%\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}(x^2+4)}dx=\int_{0}^{\infty}\frac{2dt}{t^4+4}.$% Подынтегральная функция - четная, поэтому ответ равен $%\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt}{t^4+4}.$% Замкнем отрезок $%[-R;R]$% верхней полуокружностью с диаметром - этим отрезком, найдем интеграл от функции $%\frac{1}{z^4+4}$% по образовавшемуся контуру и перейдем к пределу при $% R \to \infty.$% На полуокружности модуль указанной функции убывает быстрее роста длины полуокружности, поэтому такой предел будет равен ответу. Внутри контура подынтегральная функция имеет два полюса первого порядка в т. $% \pm 1+i,$% найдем вычеты в этих полюсах по формуле

$% res_{(-1+i)}(\frac{1}{z^4+4})= \frac{1}{(z-1-i)(z-1+i)(z+1+i)}|_{-1+i}=(1-i)/16,$%

$% res_{(1+i)}(\frac{1}{z^4+4})=\frac{1}{(z+1-i)(z-1+i)(z+1+i)}|_{1+i}=(-1-i)/16,$%

согласно основной т. о вычетах ответ будет равен умноженной на $%2\pi i$% сумме этих вычетов, т.е. $%\pi/4.$%

ссылка

отвечен 1 Июн '17 18:01

изменен 1 Июн '17 18:48

@Амфибрахий как получилось это выражение $$\frac{1}{(z-1-i)(z-1+i)(z+1+i)}$$

(3 Июн '17 0:17) kek

разложили знаменатель на множители при вычислении вычета...

(3 Июн '17 0:22) all_exist

@all_exist а почему тогда скобок всего 3, если должно быть 4

(3 Июн '17 0:32) kek

@kek: на одно из выражений, которое обращается в ноль, мы должны домножать -- в соответствии с правилом нахождения вычета. Грубо говоря, если есть функция типа 1/(z(z-1)(z-2)), то вычет в нуле находится без учёта z, а в оставшееся выражение подставляем z=0. Аналогично для других точек.

(3 Июн '17 0:48) falcao

@falcao по какой именно формуле расписывается это выражение, мне так и не ясно и откуда там взялись -1-i, -1+i, 1+i, почему там нет 1-i?И какое выражение обращается в ноль, такое что домножив на него получиться данное выражение?

(3 Июн '17 21:59) kek

@kek: там нет z+1-i, поскольку вычет находим в точке z=-1+i. Посмотрите в учебнике правило нахождения вычета хотя бы для полюса первого порядка -- принцип должен стать ясен. Идея очень простая: вычет (для простоты -- в нуле) -- это коэффициент в разложении при 1/z. Типа, f(z)=a/z+b+cz+... . Как его найти? Домножить на z, получить zf(z)=a+bz+cz^2+... , и подставить z=0 (в левой части получится предел). А в учебнике есть формулы для самого общего случая -- в том числе для кратных полюсов и т.п.

(3 Июн '17 22:06) falcao
1

смотрите пример 1

(3 Июн '17 22:11) all_exist
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
1

До кучи вариант без замены...

Рассматриваем контур - кольцо с разрезом по действительной оси... центр кольца в начале комплексной плоскости, радиусы $%r$% и $%R$%...

"Лёгким движением руки" показываем, что пределы интегралов интегралы по окружностям стремятся к нулю при $%r\to +0$% и $%R\to+\infty$%... Интегралы по берегам разреза в пределе даст удвоенный исходный интеграл, поскольку $$ \int\limits_{r}^{R} f(x) \;dx + \int\limits_{R}^{r} f\Big(xe^{2\pi i}\Big) \;d\Big(xe^{2\pi i}\Big) = 2 \int\limits_{r}^{R} f(x) \;dx \to 2I, $$

Итого, $$ 2I = 2\pi i \;Res_{z=i} \;f(z) + 2\pi i \;Res_{z=-i} \;f(z)=\ldots $$

ссылка

отвечен 3 Июн '17 21:51

изменен 3 Июн '17 21:52

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×452
×362
×144

задан
1 Июн '17 15:27

показан
509 раз

обновлен
3 Июн '17 22:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru