Нужно исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость. $$\int_{1}^{\infty}\sqrt{lnx}sin(xlnx)dx$$ Кажется, что проще установить расходимость $$\int_{1}^{\infty}|\sqrt{lnx}sin(xlnx)|dx$$, но непонятно каким методом...

задан 1 Июн '17 20:53

1

вроде как необходимый признак сходимости не выполняется в обоих случаях...

(1 Июн '17 21:54) all_exist

Да, этого соображения должно быть достаточно: x ln x функция достаточно "пологая", и там синус может принимать значения, близкие к 1, на достаточно длинных интервалах.

(1 Июн '17 22:02) falcao

@falcao А что нам это дает? Отрицание критерия Коши? Если да, то можно чуть-чуть технических подробностей? delta > 1, выбираем xi1,xi2 > delta, но теперь sin(xlnx) должен же быть больше какого-нибудь eps для всех x in [xi1,xi2], чтобы и интеграл был больше некой величины..? немного непонятно, как этого добиться, если это верно

(1 Июн '17 23:03) MaxxWell

судя по решению @Амфибрахий моя прикидка на глаз оказалась неверной...

(1 Июн '17 23:17) all_exist

Мне-то удивительнее всего видеть, как вопрошающий продолжает горячо обсуждать вопрос расходимости через 19 мин. ПОСЛЕ того, как я выложил док-во абсолютной сходимости. Чудны дела Твои, Господи...

(1 Июн '17 23:38) Амфибрахий

@Амфибрахий страничку не обновил вот и не увидел. by the way, интересно почему wolfram говорит, что does not converge, если он абсолютно сходится.

(1 Июн '17 23:47) MaxxWell
1

@Амфибрахий, такие казусы бывают, когда страница открыта долгое время и не обновлялась... тогда пишешь комментарий и просто не видишь, что появились новые комментарии или ответы..

(1 Июн '17 23:47) all_exist

Спасибо, понял. Про wolfram ничего не скажу, предлагаю тщательно проверить мое доказательство. Я пишу тексты наскоро, между более важных дел, мог где-нибудь и провраться, это же не статья, где я все выверяю-проверяю по стопицоттыщ разов.

(2 Июн '17 0:08) Амфибрахий
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
0
  1. Сначала докажем, что абсолютно сходятся интегралы $%\int_2^{\infty}\sin(x\ln x)dx ,\int_2^{\infty}\cos(x\ln x)dx. $% Рассмотрим второй интеграл: $%\int_2^{a}\cos(x\ln x)dx=\int_2^{a}\frac{d(\sin(x\ln x))}{\ln x+1}=o(1)+\int_2^{a}\frac{\sin(x\ln x)}{x(\ln x+1)^2}dx. $% Последний интеграл абсолютно сходится из сравнения с $%\int_2^{\infty}\frac{dx}{x\ln^2 x}.$% Аналогично же абсолютно сходится и первый интеграл.

Опираясь на доказанное, докажем абсолютную сходимость заданного интеграла. Отступив от 1, запишем его в виде:

$%\int_2^{\infty}\frac{(\ln x+1)(\sin(x\ln x))}{\sqrt{\ln x}}-\frac{\sin(x\ln x)}{\sqrt{\ln x}})dx ,$% абсолютная сходимость интеграла от вычитаемого следует из его сравнения с уже доказанным абсолютно сходящимся интегралом. Изучим интеграл от уменьшаемого:

$%\int_2^{a}\frac{(\ln x+1)(\sin(x\ln x))}{\sqrt{\ln x}}dx=\int_2^{a}-\frac{d(\cos(x\ln x))}{\sqrt{\ln x}}=o(1)-\int_2^{a}\frac{\cos(x\ln x)dx}{2x\sqrt{\ln^3 x}} .$% Абсолютная сходимость последнего интеграла следует из его сравнения со сходящимся интегралом $%\int_2^{\infty}\frac{dx}{2x\sqrt{\ln^3 x}} .$%

ссылка

отвечен 1 Июн '17 22:44

изменен 1 Июн '17 22:55

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,265
×276

задан
1 Июн '17 20:53

показан
573 раза

обновлен
2 Июн '17 0:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru