Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, с такой задачей: найдите группу всех обратимых элементов кольца классов вычетов Z12. Является ли она циклической?

задан 1 Июн '17 22:40

10|600 символов нужно символов осталось
0

Понятно, что этими элементами будет 1 и могут быть только числа, взаимно простые с 12-тью. Осталось рассмотреть 5, 7, 11. Перемножая их между собой, убеждаемся, что каждый из них обратим.

ссылка

отвечен 1 Июн '17 23:13

изменен 1 Июн '17 23:42

@Амфибрахий: эта группа является циклической? И можете привести пример, были бы обратимые элементы?

(1 Июн '17 23:26) SergeY

@SergeY: эта группа не циклична. Она изоморфна Z2 x Z2. Тут все элементы кроме 1 имеют порядок 2. Тут легко составить таблицу Кэли, перемножая между собой элементы 1, 5, 7, 11 по модулю 12.

Общий принцип тут очень простой -- берутся остатки, взаимно простые с n. Именно и только они будут обратимыми элементами кольца вычетов по модулю n.

(1 Июн '17 23:34) falcao

Группа из одного элемента - единицы, конечно, циклическая. В кольце $%Z_5 2\cdot3=1,$% поэтому 2 и 3 - обратимые элементы.

(1 Июн '17 23:35) Амфибрахий

@Амфибрахий: не понял, что Вы имели в виду. Тут 4 элемента, группа не циклическая. Каждый из элементов 5, 7, 11 обратен себе.

(1 Июн '17 23:38) falcao

Я начал за здравие, а кончил за упокой. Конечно же, группа - не циклическая.

(1 Июн '17 23:41) Амфибрахий

@falcao: про цикличность и изоморфность не очень понял...Почему она не циклична? Почему изоморфна Z2 x Z2? Почему порядок 2?

(1 Июн '17 23:49) SergeY

@SergeY: в циклической группе порядка 4 есть элемент порядка 4. Здесь его нет. Порядок числа 5 равен двум по очевидной причине. Возводим 5 в квадрат, получаем 25. Берём остаток от деления на 12. Это 1. Значит, элемент в квадрате равен 1. То же для 7 и 11 -- они как элементы группы тоже имеют порядок 2.

Групп порядка 4 с точностью до изоморфизма всего две. Не циклическая -- это только Z2 x Z2.

(1 Июн '17 23:57) falcao

@falcao: чему равен порядок числа 1? Вот этот момент не понял: Групп порядка 4 (то есть порядка, который имеет наша группа) с точностью до изоморфизма всего две (какие две?). Не циклическая -- это только Z2 x Z2 (есть еще какая-то?). И с изоморфна Z2 x Z2 так и не понял :( И можно пример циклической группы?

(2 Июн '17 0:14) SergeY

@SergeY: порядок числа 1, если операцией является умножение, равен 1. Ваш вопрос показывает, что определением порядка Вы не владеете, и это плохо. Надо перечитать определение, и понять, почему это так (а также то, почему это очевиднейшим образом так).

Что касается факта о группах порядка 4, то я его лишь упомянул. Достаточно знать, что это так. Здесь нужно было ответить на вопрос -- я ответил, и привёл доказательство.

Что касается примера циклической группы, то его надо узнавать не на форуме, а в учебнике. Но чтобы было наглядно, пусть будет группа поворотов правильного n-угольника.

(2 Июн '17 3:18) falcao

@falcao: спасибо.

(3 Июн '17 13:17) SergeY
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,516

задан
1 Июн '17 22:40

показан
1989 раз

обновлен
3 Июн '17 13:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru