Любое ли число вида $%n^2$%, где $%n\in\mathbb{N}$%, можно представить в виде суммы $%n$% попарно различных и попарно взаимно простых целых (не обязательно натуральных!) чисел?

Если бы речь шла только о натуральных числах, то искомое представление нашлось бы лишь для квадратов чисел 1, 2, 3 и 4 (эта такой дэццкый алымпыадный задач).

Квадрат числа 5, к примеру, можно представить следующим способом: $$5^2=1+3+5+(-7)+23$$

А дальше? Все ли квадраты представимы подобным образом?

задан 2 Июн '17 11:57

10|600 символов нужно символов осталось
3

Рассмотрим более общую задачу: дано натуральное число $%n\ge2$% и целое число $%N$%. Требуется представить $%N$% в виде суммы $%n$% попарно различных и попарно взаимно простых целых чисел: $%N=x_1+\cdots+x_n$%.

В качестве первых $%n-2$% чисел выберем первые $%n-2$% простых чисел, начиная с тройки: $%x_1=3$%, $%x_2=5$%, $%x_3=7$%, ... , $%x_{n-2}=p_{n-1}$%, где $%p_i$% обозначает $%i$%-е по счёту простое число в натуральном ряду (то есть $%p_1=2$%, и так далее). Введём обозначение $%a=x_1+\cdots+x_{n-2}$% для суммы выбранных чисел. Число $%x_{n-1}$% мы пока не знаем, и поэтому положим равным $%x$%. Последнее число будет равно $%x_n=N-a-x$%.

Для того, чтобы $%x$% было взаимно просто с предыдущими числами, необходимо и достаточно, чтобы оно не делилось ни на одно из простых чисел $%p_i$%, где $%2\le i\le n-1$%. При этом оно ни с одним из них не будет совпадать. Аналогично, мы требуем, чтобы $%x_n$% не делилось ни на одно из этих простых, то есть $%x$% не сравнимо с $%N-a$% по модулю какого-либо из этих $%p_i$%.

Далее, для взаимной простоты последних двух чисел $%x_{n-1}=x$% и $%x_n=N-a-x$%, мы требуем взаимную простоту $%x$% и $%N-a$%, считая, что $%x$% не сравнимо с нулём по модулю $%p$%, если $%p$% -- простой делитель числа $%N-a$%. Сразу оговорим, что в случае $%N-a=0$% (такой возможности вообще-то легко было бы избежать), мы просто можем положить $%x_{n-1}=1$%, $%x_n=-1$%, поэтому далее исходим из предположения $%a\ne N$%.

Наконец, числа $%x_{n-1}$% и $%x_n$% должны быть не равны, откуда $%x\ne\frac{N-a}2$%, то есть надо следить за тем, чтобы $%x$% не приняло отмеченное "запрещённое" значение.

Теперь у нас все необходимые и достаточные условия выписаны, и мы имеем конечное множество простых чисел, при делении на которые $%x$% не должно давать в остатке 0. Помимо этого, $%x$% не должно принимать какой-то ещё остаток от деления на $%p_i$% -- тот, который даёт число $%N-a$%. Поскольку все числа у нас не меньше 3, всегда имеется значение остатка от деления на $%p_i$%, которое мы вправе разрешить. Осталось сослаться на китайскую теорему об остатках, получая число $%x$%, обладающее всеми требуемыми свойствами. Понятно, что указанная теорема даёт бесконечно много возможных значений, то есть можно избежать того одного фиксированного, которое было указано выше.

В качестве наглядного примера возьмём $%n=5$%, $%N=25$%. Тогда $%x_1=3$%, $%x_2=5$%, $%x_3=7$%, $%a=15$%, $%x_4=x$%, $%x_5=N-a-x=10-x$%. Требования к числу $%x$% таковы: оно не равно 5; при делении на 3 не даёт в остатке 0 или 1 (то есть даёт 2); при делении на 5 не даёт в остатке 0 (берём остаток 1); при делении на 7 не даёт в остатке 0 или 3 (также берём 1). Дополнительно, $%x$% должно быть нечётным для взаимной простоты с числом 10. Китайская теорема даёт $%x_4=x=71$%, и тогда $%x_5=-61$%.

При желании, описанную процедуру можно запрограммировать.

ссылка

отвечен 3 Июн '17 20:59

@falcao , спасибо большое-пребольшое! У меня пока мало очков, поэтому пока не имею физической возможности Вас наградить.

(5 Июн '17 1:19) Аллочка Шакед

@Мажьдолин: такая традиция совершенно не обязательна. Вы и без того всех "награждаете" интересными задачами.

(5 Июн '17 1:50) falcao

@falcao, а разве кто-то утверждал, что эта традиция обязательна? Мне просто захотелось Вас наградить за чудесное решение.

(6 Июн '17 0:51) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×1,114
×370
×211
×17

задан
2 Июн '17 11:57

показан
699 раз

обновлен
6 Июн '17 0:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru