1
1

При каких значениях параметра a уравнение sqrt(5x-3)*ln(x^2-6x+10-a^2)=0 имеет ровно 1 корень на отрезке [0;3]?

задан 2 Июн '17 22:11

Сегодняшний ЕГЭ

(2 Июн '17 22:14) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
1

Корнями уравнения могут быть только числа $%x=\frac35$%, $%x=3+a$%, $%x=3-a$%, и никакие другие. Разберём случаи, когда ровно одно из этих чисел является корнем уравнения на отрезке $%x\in[0;3]$%, а два другие не являются.

Предположим, что $%x=\frac35$% является корнем. Отрезку от 0 до 3 оно принадлежит. Оно должно удовлетворять ОДЗ логарифма. Последнее означает, что $%a^2 < (\frac{13}5)^2$%, то есть $%|a| < \frac{13}5$%. Помимо этого, ни одно из чисел $%x=3\pm a$% не должно подойти. Это значит, что каждое из этих чисел либо не принадлежит отрезку от 0 до 3, либо даёт отрицательное подкоренное выражение. Это исключает случай $%a=0$%, когда $%x=3$% является корнем.

При $%a > 0$% число $%3+a$% выйдет за пределы отрезка, а $%x=3-a$% ему будет принадлежать. Тогда $%5(3-a) < 3$%, то есть $%a > \frac{12}5$%. При $%a < 0$%, аналогично, $%x=3-a$% будет за пределами отрезка, а для $%x=3+a$% должно быть $%5(3+a) < 3$%, то есть $%a < -\frac{12}5$%. Таким образом, значения $%a\in(-\frac{13}5;-\frac{12}5)\cup(\frac{12}5;\frac{13}5)$% войдут в ответ. Единственным решением здесь будет $%x=\frac35$%.

Теперь допустим, что $%x=3+a$% будет единственным решением. Здесь $%a\in[-3;0]$% из условия принадлежности отрезку. Далее, $%5(3+a)-3\ge0$%, то есть $%a\ge-\frac{12}5$%. Число $%x=\frac35$% уже не должно подходить, а это значит, что выражение под знаком логарифма отрицательно или равно нулю, откуда $%|a|\ge\frac{13}5$%. Из $%a\le0$% получается $%a\le-\frac{13}5$%, что противоречит одному из предыдущих условий. Значит, такой вариант невозможен.

Случай, когда $%x=3-a$% служит единственным решением, также невозможен из соображений симметрии (замена $%a$% на $%-a$% на число решений не влияет).

Таким образом, ответом будет то, что написано в конце третьего абзаца.

ссылка

отвечен 2 Июн '17 23:43

-12/5 и 12/5 тоже подходят, т.к. в этом случае корни корня и логарифма совпадают. Еще один корень логарифма не входит в отрезок 0;3, соответственно, у нас один корень 3/5, поэтому включаем эти значения а.

(27 Сен '17 17:22) Анна2500

@Анна2500: да, Вы правы. Я сейчас перечитал текст и понял, где было сделано упущение. Во втором абзаце сказано, что ни одно из чисел 3+-a не должно подойти. Это так, при условии, что мы говорим о новом корне. Но он может оказаться тем же, откуда a=-12/5 или a=12/5, что проверяется отдельно.

(27 Сен '17 21:08) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
2 Июн '17 22:11

показан
1805 раз

обновлен
27 Сен '17 21:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru