Извиняюсь за второй вопрос с этой задачей. Тут просто другой вопрос.

Задание:

Поверхность задана уравнением в декартовой прямоугольной системе координат (ДПСК). Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности. Найдите каноническую систему координат. Сделайте проверку . Выполните рисунок поверхности в канонической системе координат. Проверьте правильность нахождения канонического уравнения по инвариантам.

$$4x^2 + y^2 + 9z^2 + 4xy - 12xz - 6yz + 6x -2y -6z + 11 = 0$$

Матрица $$P=\begin{pmatrix}-\frac 2{\sqrt{14}} & -\frac 1{\sqrt{5}} & \frac 6{\sqrt{70}} \\-\frac 1{\sqrt{14}} & \frac 2{\sqrt{5}} & \frac 3{\sqrt{70}} \\\frac 3{\sqrt{14}} & 0 & \frac 5{\sqrt{70}} \end{pmatrix}$$

По проверке $$P^T * A * P$$ все сходится. Матрица P найдена верно.

Далее выполним преобразование переменных:

$$ 14\tilde{x}^2 + (6,-2,-6) \cdot \begin{pmatrix}-\frac 2{\sqrt{14}} & -\frac 1{\sqrt{5}} & \frac 6{\sqrt{70}} \\-\frac 1{\sqrt{14}} & \frac 2{\sqrt{5}} & \frac 3{\sqrt{70}} \\\frac 3{\sqrt{14}} & 0 & \frac 5{\sqrt{70}} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \tilde{x} \\ \tilde{y} \\ \tilde{z} \\ \end{pmatrix} +11 = 14\tilde{x}^2 - {\frac{28}{\sqrt{14}}} \cdot \tilde{x} - {\frac{10}{\sqrt{5}}} \cdot \tilde{y} + 11 $$

Теперь нужно с помощью замены получить каноническое уравнение. В этом и проблема.

Решил по инвариантам, получился параболический цилиндр, его каноническое уравнение: $$\tilde{y}^2 = 2p\tilde{x}, p > 0$$

Выделияем полный квадрат по $$x$$ и делим все на 14 $$ x^2 - 2x + 1 - {\frac{\frac{10 \cdot y}{\sqrt{5}}}{14}} + {\frac{11}{14}} - 1 = (x-1)^2 - {\frac{\frac{10 \cdot y }{\sqrt{5}}}{14}}
+ {\frac{11}{14}} - 1 = (x-1)^2 - \frac{10}{\sqrt{5}\cdot 14} (y + {\frac{0.3}{\sqrt{5}}} ) $$

задан 4 Июн '17 13:54

изменен 4 Июн '17 19:54

Так ведь у Вас вся основная работа уже проделана -- осталось выделить полный квадрат по x и применить линейную замену координат. Далее поменять ролями x и y -- это осевая симметрия, то есть ортогональное преобразование.

(4 Июн '17 15:37) falcao

@falcao немного не понимаю как, там просто этот корень из 14. Обновил пост, правильно?

а нет, бред написал

(4 Июн '17 15:43) integrallebega

@integrallebega: выделение полного квадрата возможно всегда -- это простейший школьный приём. Наличие корня из 14 ведёт только к не самым приятным числам, но серьёзным препятствием не является.

То равенство, которое Вы написали, неверно, потому что слева там 14x^2, а справа x^2.

(4 Июн '17 16:03) falcao

@falcao Извиняюсь, опечатался. 14 пропустил перед x. Теперь верно?

(4 Июн '17 16:13) integrallebega

@integrallebega: я не хочу проверять элементарные вычисления. Вы можете в этом смысле себя контролировать не хуже меня. Раскройте скобки в правой части. Получится 196x^2. А слева 14x^2.

Я бы мог посоветовать сделать все эти вещи за 6-й класс школы в буквенном виде. Представьте себе, что уравнение имеет вид ax^2+bx+c+dy=0. Его надо разделить на a (чтобы не путаться), и так далее.

(4 Июн '17 16:18) falcao

@falcao ну да, чет я совсем тупанул, сорян. В методичке и на парах почему то не было таких матриц P и корней из 14, а все в нормальных числах решалось. В итоге поделил все на 14 и полный квадрат нормальный получился, только что теперь с остальным делать

(4 Июн '17 17:07) integrallebega

@integrallebega: удивительно всё-таки. Представьте себе буквенные выражения. У Вас получилось (x-1)^2+ay+b=0. Сдвигаете координату y. Получается (x-1)^2+a(y+b/a)=0. Сдвигаете начало координат. Это даёт X^2+aY=0. Если a положительно, меняете Y на -Y. Переносите aY в другую часть. Вводите параметр p, записывая всё как X^2=2pY. Затем меняете ролями X и Y, получая каноническое уравнение.

В "идейном" плане это совсем элементарные вещи. Только если идея понятна, очень прошу не затрагивать вопрос о проверке правильности сделанных вычислений, так как сами умеете делать (раскрыли скобки, сравнили).

(4 Июн '17 17:18) falcao

@falcao да проверять вычисления я Вас и не просил. Спасибо, сейчас попробую сделать как вы сказали, если я Вас правильно понял. Минуту.

(4 Июн '17 17:26) integrallebega

@falcao Вот. Правильно Вас понял? Если да, то сейчас переменные ролями поменяю, тильдочки добавлю и все

Хотя, видимо, $$y$$ должен быть без коэффициента 10, только хз как его убрать нормально

(4 Июн '17 17:31) integrallebega

@integrallebega: преобразование должно быть ортогональным, то есть y можно заменять только на y-c, где c=const. Коэффициент при y должен быть по модулю равен 1. Коэффициент при y нужно выносить за скобку целиком, как он есть.

(4 Июн '17 18:07) falcao

@falcao да, я понял уже. Посмотрите пожалуйста пост. Вот так?

(4 Июн '17 18:34) integrallebega

@integrallebega: Вы-таки настаиваете на том, чтобы я проверял вычисления (хотя на словах это отрицаете). Я выше сказал: надо уметь себя проверять самому. Без этого нельзя научиться решать задачи. Что Вам стоило вместо новых вопросов раскрыть скобки? Тогда бы Вы увидели, что там получается y^2, чего быть не должно.

Всё, что я мог посоветовать по этому поводу, я уже сделал. Остальное Вы должны уметь сами. Включая навык самопроверки.

(4 Июн '17 18:42) falcao

@integrallebega: это ещё печальнее. Ошибиться в вычислениях может каждый, и тут уместно в чём-то сомневаться. А в том, можно ли выносить число за скобки (какой это класс?) -- тут я даже не знаю, что сказать...

Главное же то, что можно взять и раскрыть скобки самому, сверить одно и другое. Потом увидеть, что корень из пяти исчез непонятным образом, и так далее. Пересчитать, и так пока не совпадёт. А если совпадёт, то как бы и сомнения должны исчезнуть.

Ведь это совершенно нормальное явление: делать ошибки, а потом их самостоятельно выявлять и исправлять.

(4 Июн '17 19:09) falcao

@falcao тут Вы правы. Я пересмотрел все с начала и понял, что корень из 100 и корень из 5 легко сокращаются и получается 5. И теперь вроде все совсем легко выносится и решается.

(4 Июн '17 19:13) integrallebega

@integrallebega: я почему-то всегда считал, что 10/sqrt(5) равно 2sqrt(5). Видимо, я не был в курсе того, что корень из пяти равен двум, и после деления 10 на него должно получаться 5 :)

(4 Июн '17 19:16) falcao
1

@falcao АХАХХА, мдаа, чет я совсем с ума сошел с этой задачей. Поделил 100 на 5 и получил 25))) Все, это конец :(

(4 Июн '17 19:20) integrallebega
показано 5 из 16 показать еще 11
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,376
×49
×48

задан
4 Июн '17 13:54

показан
746 раз

обновлен
4 Июн '17 19:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru