Пусть $%G$% - группа порядка 2873. Известно (т.е. можно показать, но этого не просят), что $%G$% содержит одну нормальную подгруппу порядка 17 и еще одну нормальную подгруппу порядка 169. Доказать, что $%G$% абелева.

задан 4 Июн '17 18:49

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если в группе G есть две подгруппы A, B, хотя бы одна из которых нормальна, то произведение AB (как множество всех элементов вида ab, где a из A, b из B) является подгруппой. Это легко проверяется по критерию для подгрупп на основании того, что AB=BA (последнее не означает, что ab=ba поэлементно).

Рассматриваемые подгруппы из условия пересекаются по единице, так как порядки элементов подгрупп взаимно просты. Если две нормальные подгруппы пересекаются тривиально, то их элементы попарно коммутируют. Действительно, рассмотрим коммутатор a^{-1}b^{-1}ab. Он может быть записан как a^{-1}(b^{-1}ab), поэтому принадлежит A. Он же записывается как (a^{-1}b^{-1}a)b, поэтому принадлежит B. Значит, он равен 1, то есть ab=ba.

Из сказанного можно заметить, что подгруппы A и B порождают в G подгруппу, изоморфную прямому произведению A x B. Из совпадения порядков ясно, что оно совпадает с G. Осталось сослаться на то, что группа порядка p^2 при простом p абелева.

ссылка

отвечен 4 Июн '17 19:32

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
4 Июн '17 18:49

показан
309 раз

обновлен
4 Июн '17 19:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru