Классифицировать группы порядка 24, которые являются факторами $%\mathbb{Z}^2$%.

задан 4 Июн '17 18:55

10|600 символов нужно символов осталось
1

Все такие группы абелевы. Значит, они являются прямыми произведениями циклических. Также они раскладываются в прямое произведение примарных компонент. Одна из компонент имеет порядок 8, другая 3. Первая компонента может быть группой Z(8), или Z(4)xZ(2), или Z(2)xZ(2)xZ(2). Группа Z(8)xZ(3) изоморфна Z(24), и является факторгруппой даже Z. Во втором случае имеем группу Z(4)xZ(2)xZ(3), изоморфную Z(4)xZ(6), что будет гомоморфным образом ZxZ. Осталось показать, что третий случай невозможен.

Рассмотрим прообраз подгруппы Z(2)xZ(2)xZ(2) при гомоморфизме из ZxZ. Это будет группа, которая порождается двумя элементами. Но рассматриваемая нами подгруппа двумя элементами не порождается (это векторное пространство размерности 3 над полем из двух элементов). Значит, возможно всего две группы с точностью до изоморфизма. Они описаны выше.

ссылка

отвечен 4 Июн '17 19:40

Вопрос по последней части. Мы хотим показать, что Z(3)xZ(2)xZ(2)xZ(2) не может быть фактором Z^2. Какой гомоморфизм ZxZ->Z(2)xZ(2)xZ(2) рассматривается? Куда делся фактор Z(3)? Почему из размерности 3 вект. пространства Z(2)xZ(2)xZ(2) над полем из 2 элементов следует что Z(2)xZ(2)xZ(2) не порождается 2 элементами? Что это говорит об исходной группе с фактором Z(3)?

(15 Июн '18 23:25) Slater

@Slater: группа AxB гомоморфно отображается на любой из своих сомножителей, поэтому если она является гомоморфным образом группы G, то и B тоже является. Если бы Z(2)^3 порождалась двумя элементами, то любой вектор пространства был бы равен линейной комбинацией этих элементов с коэффициентами 0 или 1. И тогда они бы давали всё пространство в качестве линейной оболочки. Но их два, и dim линейной оболочки <=2. В итоге если уже B не порождается двумя элементами, то AxB подавно не порождается.

(16 Июн '18 0:02) falcao

Какая связь между порождающими Z(2)^3 и структурой векторного пространства? Порождающие Z(2)^3 как группы это то же, что ее порождающие как Z-модуля? Почему если 2 порождающих, то любой элемент - комбинация с коэффициентами 0,1, если это модуль над Z, а не над Z(2)? А, или в данном случае это также модуль и над Z(2)? И тогда заодно и векторное пространство над Z(2), и если есть 2 порождающих как Z(2)-модуля, то ранг и размерность должны быть 2, но они 3?

(16 Июн '18 1:33) Slater

@Slater: всё, что сказано в конце, правильно -- если 2 как элемент Z действует как 0, то Z-модуль становится Z2-модулем, а это и есть векторное пространство над полем из двух элементов. Коэффициенты можно заменить на их остатки. То есть за всем этим не стоит ничего сложного.

(16 Июн '18 3:19) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520

задан
4 Июн '17 18:55

показан
344 раза

обновлен
16 Июн '18 3:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru