Показать, что при $%n\ge 3$% группа $%S_n$% содержит элементы $%x,y$% порядка 2, такие что $%xy$% имеет порядок $%n$%.

задан 4 Июн '17 19:19

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим правильный n-угольник, вершины которого занумерованы по часовой стрелке. Группа всех его симметрий (диэдральная группа D_n) естественным образом вкладывается в симметрическую группу порядка n -- каждой симметрии фигуры соответствует подстановка на множестве вершин.

Известно, что композиция двух осевых симметрий, для которых угол между осями равен a, есть поворот на угол 2a в одном из направлений. Нам достаточно указать две прямые -- оси симметрии n-угольника, угол между которыми равен п/n. Порядки осевых симметрий равны 2, а при перемножении получится поворот на угол 2п/n, порядок которого равен n.

Если AB -- одна из сторон, то одна ось симметрии будет OA, а вторая будет серединным перпендикуляром к AB (О -- центр n-угольника).

ссылка

отвечен 4 Июн '17 19:56

Каков точный смысл слова "вкладывается"? Является подгруппой? И чтобы проверить что она "вкладывается" надо просто проверить свойства подгруппы?

(17 Июн '18 0:24) Slater

@Slater: говорят, что группа G вкладывается в группу H, если существует инъективный гомоморфизм G в H (вложение). Это равносильно тому, что G изоморфна некоторой подгруппе в H.

В данном примере проверять ничего не надо: симметрии n-угольника соответствует подстановка на множестве вершин. Композиции симметрий соответствует произведение подстановок. Это гомоморфизм. Инъективность вытекает из того, что если все вершины на месте, то и вся фигура на месте (она "жёсткая").

(17 Июн '18 2:48) falcao

А зачем нужно вершины нумеровать по часовой стрелке? Просто нумеровать - чтобы отождествить D_n с подгруппой S_n, наверное? А часовая стрелка - просто для определенности?

(17 Июн '18 4:15) Slater

@Slater: конечно, для определённости. И также потому, что это наиболее естественный способ нумерации. А если пронумеровать от 0 до n-1, подгруппа поворотов даёт изоморфизм на Z_n.

(17 Июн '18 4:43) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520

задан
4 Июн '17 19:19

показан
250 раз

обновлен
17 Июн '18 4:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru